复数的概念与计算
复数的概念与计算
第五讲 复数乘方与开方 复球面
第五讲 复数乘方与开方 复球面
1.复数的乘方与开方 (1)乘方zn=z.z=rn(cosn0+isinn0) n (2)开方 设w1=z,则称w是z的n次方根。记为wW=点 √2表示z的n次方根的主值。 方根的计算公式 设z=r(cos0+isin0),则 w=点=r( 0+2kπ 0+2kπ k∈Z
1.复数的乘方与开方 (1) 乘方 𝒛 𝒏 = 𝒛 ⋯ 𝒛 𝒏 = 𝒓 𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝒏𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝒏𝜽) (2) 开方 设𝒘𝒏 = 𝒛，则称𝒘是𝒛的𝒏次方根。记为𝒘 = 𝒛 𝟏 𝒏 ， 𝒛 𝒏 表示𝒛的𝒏次方根的主值。 方根的计算公式 设 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽)，则 𝒘 = 𝒛 𝟏 𝒏 = 𝒓 𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 𝒏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 𝒏 , 𝒌 ∈ 𝒁
证明：设w=p(cosp+isin)由wn=z,得 p"(cosno isinng)r(cos0 isin0) 则e+2k即p p"=r =VT n0=9+2kmke年2 所以 w-m-Vrc 日+2kr+isin +2kπ ,k∈Z n 。飞由正弦、余弦函数的周期性可知，非零数的 n次方根有n个相异的根
证明: 设𝒘 = 𝝆(𝒄𝒐𝒔𝝋 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝝋) 由𝒘𝒏 = 𝒛 ，得 则 𝝆 𝒏 = 𝒓 𝒏𝝋 = 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 即 𝝆 = 𝒓 𝒏 𝒏𝝋 = 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 , 𝒌 ∈ 𝒁 所以 𝑛次方根有𝑛个相异的根。 由正弦、余弦函数的周期性可知，非零数的 𝝆 𝒏 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝋 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝒏𝝋 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽) 𝒘 = 𝒛 𝟏 𝒏 = 𝒓 𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 𝒏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 𝒏 , 𝒌 ∈ 𝒁
2.方根的几何意义 1 w=z元=VFc0s9 +2kr+isin +2kπ k∈Z n wo =V(cos2+isin g),k=0 W w-(cos +isin 6+2π Wk-1 2π/m 0/m Wn-1=F(cos 0+2(n-1)7 十 +20m-1)严) isin 9 Wn-l wn=F[eos(只+2nm）+ism(（+2m=w
2.方根的几何意义 𝜃/𝑛 w1 wk-1 wk wn-1 x y O w 0 z 2𝜋/𝑛 𝒘 = 𝒛 𝟏 𝒏 = 𝒓 𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 𝒏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 𝒏 , 𝒌 ∈ 𝒁 𝒘𝟎 = 𝒓 𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒏 , 𝒌 = 𝟎 𝒘𝟏 = 𝒓 𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝜽+𝟐𝝅 𝒏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽+𝟐𝝅 𝒏 𝒘𝒏−𝟏 = 𝒓 𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝜽+𝟐 𝒏−𝟏 𝝅 𝒏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽+𝟐(𝒏−𝟏)𝝅 𝒏 ) 𝒘𝒏 = 𝒓 𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒏 + 𝟐𝛑 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒏 + 𝟐𝝅 = 𝒘𝟎 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑟 𝑛
2.方根的几何意义 1 0+2kπ w=zn=7T coS n isin 0+2kπ ,k∈Z n 以原点为圆心，以下为半径的圆周， 作辐角为9的射线， 交于圆周上的点wo;以wo 为顶点作圆周的内接正n边形 Wk-1 2π/m θ/m 其n个顶点就对应着 z的n次方根的n个值： Wn-1 W0,W1,W2,.,Wn-1
2.方根的几何意义 以原点为圆心，以 𝒓 𝒏 为半径的圆周， 交于圆周上的点 𝒘𝟎 ； 为顶点作圆周的内接 正 𝒏边形 以𝒘𝟎 其𝑛个顶点就对应着 𝑧 的 𝑛 次方根的 𝑛 个值： 𝒘 = 𝒛 𝟏 𝒏 = 𝒓 𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 𝒏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 𝒏 , 𝒌 ∈ 𝒁 𝜃/𝑛 w1 wk-1 wk wn-1 x y O w 0 z 2𝜋/𝑛 𝑟 𝑛 作辐角为 𝜽 𝒏 的射线， 𝒘𝟎， 𝒘𝟏， 𝒘𝟐 , . , 𝒘𝒏−𝟏
举例 例1：求(1+)克 解：1+i的三角形式，r=V2,arg0=arctan1= (1+0i=V (cos+sn） k∈Z wo=2(cos毫+isin),w1=8z(cos2器+isin), w2=z(cos+istm）,wg=8z(cos2g+isng）
例1: 求（1+𝒊) 𝟏 𝟒 解: 1+𝒊 的三角形式，r= 𝟐, 𝒂𝒓𝒈𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟏 = 𝝅 𝟒 （1+𝒊) 𝟏 𝟒= 𝟐 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟒 +𝟐𝒌𝝅 𝟒 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 +𝟐𝒌𝝅 𝟒 , 𝒌 ∈ 𝒁 𝒘𝟎= 𝟐 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟏𝟔 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟏𝟔 , 𝒘𝟏= 𝟐 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝝅 𝟏𝟔 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝟗𝝅 𝟏𝟔 , 𝒘𝟐= 𝟐 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟕𝝅 𝟏𝟔 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟕𝝅 𝟏𝟔 , 𝒘𝟑= 𝟐 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟓𝝅 𝟏𝟔 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝟐𝟓𝝅 𝟏𝟔 , 举例
例2： 求解方程z3-2=0 举例 解：原方程的解就是z3=2,即2z=2, 2的三角形式，r=2,arg0=arctan0=0 V(cos isin)ke wo=2(cos0 isin0)=2, w1=2(cos+isin） w2=Vz(cos好+isin)
例2: 求解方程𝒛 𝟑 − 𝟐 = 𝟎 解: 原方程的解就是𝒛 𝟑 = 𝟐,即z = 𝟐, 𝟑 2的三角形式，r= 𝟐, 𝒂𝒓𝒈𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟎 = 𝟎 𝟐 𝟏 𝟑= 𝟐 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟎+𝟐𝒌𝝅 𝟑 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝟎+𝟐𝒌𝝅 𝟑 , 𝒌 ∈ 𝒁 𝒘𝟎= 𝟐 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟎 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝟎 = 𝟐 𝟑 , 𝒘𝟏= 𝟐 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅 𝟑 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝟐𝝅 𝟑 , 𝒘𝟐= 𝟐 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝝅 𝟑 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝟒𝝅 𝟑 . 举例
3.复球面、扩充复球面东 3.1复球面 单位球面切于复平面于原点O, 球面上点S与点O重合， 点S的对径点为N。 S-南极点 W-北极点 球面上任意点P≠N,直线PW与复平面交于点Z, 复平面上任意点Z,直线ZW与球面交于点P, 即得球面（除去北极点N外）与复平面上点的1-1的对应关系
3.1复球面 3.复球面、扩充复球面 O x y P z S N 单位球面切于复平面于原点O, 球面上点 S 与点O 重合, 点S 的对径点为N。 S - 南极点 N - 北极点 球面上任意点𝐏 ≠ 𝑵 ,直线 PN 与复平面交于点 z, 即得球面(除去北极点N外)与复平面上点的 1-1的对应关系。 复平面上任意点𝒁,直线 zN 与球面交于点 P
3.2扩充复平面 对于球面上的北极点N,在复平面C上没有对应点。 设想在复平面上增加一个理想点∞， 即无穷远点与之对应， 由此得到的扩充复平面CU{∞}与球 面1-1对应
3.2扩充复平面 对于球面上的北极点N，在复平面C上没有对应点。 设想在复平面上增加一个理想点∞ , 即无穷远点与之对应, 由此得到的扩充复平面C⋃{∞}与球 面1-1对应。 O x y P z S N