解析函数
解 析 函 数
第一讲 解析的概念
第一讲 解析函数的概念
解析函数的概念 1.复变函数的导数 定义1：设函数w=f(z),在zo的某邻域内 有定义，Z0+△z是某邻域内任意一点， △z=z-Z0△w=f(z0+△z)-f(z0),若 lim w=lim f(z0+△z)-f(zo) △2→0△z △z→0 △z 存在有限的极限值A,则称函数f(z)在点zo处可导， 这个极限值称为f(z)在z,处的导数。记作 f)=829,- dw △z→0△zz=z0
解析函数的概念 1.复变函数的导数 定义1: 设函数𝐰 = 𝐟 𝒛 ,在𝒛𝟎的某邻域内 有定义, 𝒛𝟎 + ∆𝒛 是某邻域内任意一点， ∆𝒛 = 𝒛 − 𝒛𝟎,∆𝑤 = 𝑓 𝒛𝟎 + ∆𝒛 − 𝑓 𝒛𝟎 ,若 lim ∆𝑧→0 ∆𝑤 ∆𝑧 = lim ∆𝑧→0 𝑓 𝑧0+∆𝑧 −𝑓(𝑧0) ∆𝑧 存在有限的极限值A，则称函数𝒇(𝒛)在点z0处可导， 这个极限值称为𝒇(𝒛)在z0处的导数。记作 𝑓 ′ 𝑧0 = 𝑑𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 𝑧=𝑧0 = 𝑑𝑤 𝑑𝑧 𝑧=𝑧0 = lim ∆𝑧→0 ∆𝑤 ∆𝑧 𝑧=𝑧0
2.复变函数的微分 若△w=f'(z)△z+o(I△z) (△z→0) 称df(zo)=f'(zo)△z=f'(zo)dz为f(z)在zo处的微分。 也称f(z)在zo处可微。 f(z)在zo处可微（或可导），则f(z)在z0处连续
2.复变函数的微分 若∆𝑤 = 𝑓 ′ 𝑧0 ∆𝑧 + 𝑜 ∆𝑧 (∆𝑧 → 0) 称𝑑𝑓(𝑧0) = 𝑓 ′ 𝑧0 ∆𝑧 = 𝑓 ′ 𝑧0 𝑑𝑧为𝑓(𝑧)在𝑧0处的微分。 也称𝑓 𝑧 在𝑧0处可微。 𝑓 𝑧 在𝑧0处可微(或可导），则𝒇 𝒛 在𝒛𝟎处连续
3.解析函数 定义2：若函数f(z)在z,及z,的领域内处处可导， 则称函数f(z)在zo处解析。 若函数f(z)在区域D内每一点都解析，则称函数 f(z)在D内解析，称f(z)为D内的解析函数。 若函数f(z)在zo处不解析，但在z的任意邻域内总 有f(z)的解析点则称z,为函数f(z)的奇点。 说明： 不解析点不一定是奇点， 函数在区域内解析与区域内处处可导等价。 函数在一点可导与该点处解析不是等价的
3.解析函数 定义2：若函数𝒇(𝒛)在𝒛𝟎及𝒛𝟎的领域内处处可导， 则称函数𝒇(𝒛)在𝒛𝟎处解析。 若函数𝒇(𝒛)在区域𝑫内每一点都解析，则称函数 𝒇(𝒛)在𝑫内解析，称𝒇(𝒛)为𝑫内的解析函数。 若函数𝒇(𝒛)在𝒛𝟎处不解析，但在𝒛𝟎的任意邻域内总 有𝒇(𝒛)的解析点则称𝒛𝟎为函数𝒇(𝒛)的奇点。 说明： 不解析点不一定是奇点， 函数在区域内解析与区域内处处可导等价。 函数在一点可导与该点处解析不是等价的
2.复变函数导数的四则运算法则 设f(z)和g(z)都是区域D上的解析函数， 则r2土g2.faga以及 (g(2)+0), 在D上为解析，且有 (1)(f(z)±g(z)'=f'(z)±g(z) (2)(f(z)g(z)'=f'(z)g(z)+g'(z)f(z) 3) -tooor g(z)≠0
2.复变函数导数的四则运算法则 设𝒇(𝐳)和𝑔(𝑧)都是区域D上的解析函数， 则f 𝐳 ± 𝒈 𝒛 , 𝒇 𝒛 𝒈(𝒛)以及𝑓 𝑧 𝑔 𝑧 𝐠 𝐳 ≠ 𝟎 , 在D上为解析，且有 1 (𝑓(𝑧) ± 𝑔(𝑧)) ′ = 𝑓′(𝑧) ± 𝑔′(𝑧) 2 (𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧)) ′ = 𝑓 ′ 𝑧 𝑔 𝑧 + 𝑔 ′ 𝑧 𝑓 𝑧 3 𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧) ′ = 𝑓 ′ 𝑧 𝑔 𝑧 −𝑔 ′ 𝑧 𝑓(𝑧) [𝑔(𝑧)] 2 g(z)≠ 0
常用导数公式与法则 (1)(C)'=0 C为复常数 (2)(z)'=nzn-1,(n∈Z+) (3)[f(g(z)]'=f'(h)g'(z),h=g(z) (4)若两个单值函数w=f(z),z=h(w)互为 反函数，且h'(w)≠0则有 f(a)=ow) (5)[kf(z]'=kf'(z) k为常数
常用导数公式与法则 1 (𝐶) ′ = 0 C为复常数 2 (𝑧 𝑛 ) ′ = 𝑛𝑧 𝑛−1 ,(𝒏 ∈ 𝑍 +) (4) 若两个单值函数𝑤 = 𝑓 𝑧 , 𝑧 = ℎ(𝑤)互为 反函数，且h′(𝑤) ≠ 0则有 3 [𝑓(𝑔 𝑧 ] ′ = 𝑓 ′ ℎ 𝑔 ′ 𝑧 , ℎ = 𝑔(𝑧) 𝑓′ 𝑧 = 1 ℎ′(𝑤) 5 [𝑘𝑓 𝑧 ] ′ = 𝑘𝑓′ 𝑧 𝒌为常数
复合函数求导法则 补充(3)：设h=g(z)在z平面上的区域D内解析， 函数p=f(h)在h平面上的区域D*内解析， 若对于D内每一点z,g(z)的对应值h落在D*内， 即g(D)cD*,则复合函数p=f(g(z)在D内解析
补充(3):设𝒉 = 𝒈(𝒛)在𝒛平面上的区域D内解析， 函数𝝋 = 𝒇(𝒉)在𝒉平面上的区域𝑫∗内解析， 若对于𝑫内每一点𝒛,𝒈(𝒛)的对应值𝒉落在𝑫∗内, 即𝑔(D)⊂ 𝑫∗，则复合函数𝝋 = 𝒇(𝒈(𝒛))在𝑫内解析。 复合函数求导法则
举例 例1：求下列函数的解析区域与该区域上 的导数： (1)f(z)=z3-3z+6 (3)f(z)= 5z-7 3z+8 解：f'(2)=3z2-3 解：f'(z)= f(z)在整个复平面上可导。 (5z-7)'(3z+8)-(3z+8)'(5z-7) 2)fa)=月 (3z+8)2 5(3z+8)-3(5z-7) (3z+8)2 解：f'(z)= 1 61 22 (3z+8)2 因此f(z)在整个复平面上（除 因此f(z)在整个复平面上（除 z=0是奇点)可导。 Z= 是奇点可导
举例 例1：求下列函数的解析区域与该区域上 的导数： 1 𝑓 𝑧 = 𝑧 3 − 3𝑧 + 6 解： 𝒇′(𝒛)= 3𝑧 2 −3 (2) 𝑓(𝑧) = 1 𝑧 解：𝒇′(𝒛)= −1 𝑧 2 (3) 𝑓(𝑧) = 5𝑧−7 3𝑧+8 解： 𝒇 ′ 𝒛 = 5𝑧−7 ′ 3𝑧+8 − 3𝑧+8 ′ (5𝑧−7) (3𝑧+8) 2 = 5 3𝑧+8 −3 (5𝑧−7) (3𝑧+8) 2 = 61 (3𝑧+8) 2 因此𝒇(𝒛)在整个复平面上(除 𝒛 = − 𝟖 𝟑 是奇点)可导。 因此𝒇(𝒛)在整个复平面上(除 𝒛 = 𝟎是奇点)可导。 𝒇(𝒛) 在整个复平面上可导
课堂小结 复变函数 的导数 df(zo)=f'(zo)Az=f'(zo)dz 复变函数的微分 解析函数 f(z)在2处可微（或可导），则f(z)在zo处连续 f(z)在区域D内每一点都解析， 则称函数f(z)在D内解析。 解析函数 奇点：f(z)在z0处不解析，但 在z0的任意邻域内总有f(z)的 解析点