留数及其应用
留数及其应用
第二讲 丞数的零点与极点的关系
第二讲 函数的零点与极点的关系
留数及其应用 1.函数的零点与极点的关系 定义1：若f(z)=(z-z0)mp(z),p(z)在zo处解析，且 p(z)≠0，m为某一正整数，那么称zo为f(z)的m阶零点。 例1：z=0,z=1分别为f(z)=z(z-1)3的一阶与三阶零点。 定理1：若f(z)在zo处解析，那么z,为f(z)的m阶零点的充要 条件是fm(zo)=0(n=0,1,m-1),fm(zo)≠0. 定理2：如果z是f(a的m阶极点，那么z是名 的m阶零点 (可去奇点当作解析点看待)反之亦然
留数及其应用 1.函数的零点与极点的关系
举例 例 :函数f(2)=1有些什么奇点，如果是极点， sinz 指出它的阶。 解：函数1的奇点是使sinz=0的点，这些奇点 是z=kπ(k∈Z)且为孤立奇点。 (sinz)'lx=km=coskπ=(-1)k≠0(k∈Z) z=kπ为sinz的一阶零点，也就是1的一阶极点
举例 解：
2.函数在无穷远点的性态 定义2：设函数f(z)在无穷远的邻域R<|z<+o,内 解析，则无穷远点就称为f(z)的孤立奇点。 设R<|z<+∞内，则f(z)可展成洛朗级数： +00 fa)=∑cz (I) n=-c0
2.函数在无穷远点的性态 (Ⅰ)
C-nC-n+1 f(a）=.+ 十 2n-1+.+ C-1十 Co +ciz+.+cnzn+. 按展开式中正幂项部分的状况，把孤立点分成3类： (1)级数中不出现正幂项，z=∞称为f(z)的可去奇点： (2)级数中只含有有限个n>0,使得cn≠0，z=∞称为 f(z的极点；若cm≠0，n>m时，cn=0则称z=oo为 f(z)的m阶极点. (3)级数中含有无穷多个n>0,使得cn≠0，z=oo称为 f(z)的本性奇点：
按展开式中正幂项部分的状况，把孤立点分成3类：
几种常用的级数：z<+o. e2=1+z+ 2+3+.×、 十 n! 25 22n+1 sinz=Z- 3+51-.+-10”2n+10+ C0sz=+a一.+（一1）"22←
(I)可去奇点： 定理3.1：设f(z)在R<z<+oo内解析，则z=∞是 f(z)的可去奇点的充要条件是： limf(z)=co≠o∞ Z→00 例3函数+2是否以z=∞为孤立点？若是属于哪一类？ 解：“2在全平面除去2=及z=一的区域内解析， “中在无穷远点的领域1<1z<+为解析， 名=0是它的孤立奇点，1=0， 故为可去奇点
（Ⅰ)可去奇点 ： 解：
(Ⅱ)极点： 定理3.2：设f(z)在R<z<十∞内解析，则z=∞是 f(z)的极点的充要条件是： limf(z)=co Z→00 例4函数f(z)=1+2z+3z2+4z3是否以z=∞为孤立点？ 若是属于哪一类？ 解：函数f(z)在全平面解析， 且表达式本身就是该函数在z<+∞的洛朗展开式， z=∞是它的孤立奇点，且为三阶极点
（Ⅱ)极点 ： 解：
(Ⅲ)本性奇点 定理3.3：设f(z)在z<+o内解析，则z=∞是f(z)的本性 奇点的充要条件是：不存在有限或无穷的极限！”f(2) 例5：函数f(z)=e2是否以z=∞为孤立奇点。 z223 e2=1+z+ 2!十31+.+ 此级数含有无限多个正次幂项，z=o∞是函数2的本性奇点
(Ⅲ) 本性奇点 奇点的充要条件是：不存在有限或无穷的极限