复数的概念与计算
复数的概念与计算
第二讲 复数的几何表示
第二讲 复数的几何表示
复数的几何表示 1.复平面与复数的几何表示 复数的直角坐标表示法： 复数的代数表示法z=x+y 实平面上的点(x,y)1-1复平面上的点z=x+iy 个y(纵轴) ←→ 实平面 个y(虚轴) 复平面 y (x,y) yi z=x+iy 0 X x(横轴) 0 x(实轴)
复数的几何表示 1.复平面与复数的几何表示 复数的直角坐标表示法： 𝑶 𝒙(横轴) 𝒚(纵轴) 𝑶 𝒙(实轴) 实平面 𝒚(虚轴) 复平面 实平面上的点 𝒙, 𝒚 复平面上的点𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 复数的代数表示法 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 𝑥 𝑦 𝑦𝑖 𝑥 (𝑥, 𝑦) 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝟏 − 𝟏 ⟷
2.复数的极坐标表示： y(虚轴) yi -z=x+iy x(实轴) r表示向量z=x+y的长度， 称之为复数z的模，记为 z=x+iyl =x2+y2
2.复数的极坐标表示： 𝑶 𝒙(实轴) 𝒚(虚轴) 𝒓 表示向量 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 的长度， 称之为复数 𝒛 的模，记为 𝒛 = |𝒙 + 𝒊𝒚| = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 . 𝑦𝑖 𝑥 𝜃 𝑟 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
基础练习 z=3+4i的模为|z=√32+42=5 z=3-4i的模为 |z=V32+(-4)2=5 z=4i的模为 zl=√02+42=4 z=一3的模为 |z=V(-3)2+02=3 z=0的模为 |z=V02+02=0
基础练习 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊的模为_; 𝒛 = 𝟑 − 𝟒𝒊的模为_; 𝒛 = 𝟒𝒊的模为 _; 𝒛 = −𝟑的模为 _; 𝒛 = 𝟎的模为 _. 𝒛 = 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐=5 𝒛 = 𝟑 𝟐 + (−𝟒) 𝟐=5 𝒛 = 𝟎 𝟐 + 𝟒 𝟐=4 𝒛 = (−𝟑) 𝟐+𝟎 𝟐=3 𝒛 = 𝟎 𝟐 + 𝟎 𝟐=0
2复数的极坐标表示： 个y(虚轴) 0表示以x轴正向为始边，以向 yi z=x+iy 量z=x+y为终边的角度， 称之为复数z的辐角 x(实轴) 记为0=Argz,辐角不唯一。 称满足-π<00≤π的辐角为z的主辐角，记为00=argz, 因此0=Argz=argz+2kπ，k∈Z Z-全体整数集 沁复数z=0时，辐角无定义
𝑶 𝒙(实轴) 𝒚(虚轴) 𝜽表示以 𝒙 轴正向为始边，以向 量 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 为终边的角度， 称之为复数𝒛 的辐角， 记为𝜽 = 𝑨𝒓𝒈𝒛 ，辐角不唯一。 称满足−𝝅 < 𝜽𝟎 ≤ 𝝅的辐角为𝒛 的主辐角，记为𝜽𝟎 = 𝒂𝒓𝒈𝒛 ， 因此𝜽 = 𝑨𝒓𝒈𝒛 = 𝒂𝒓𝒈𝒛 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ 𝒁 复数𝒛 = 𝟎 时，辐角无定义。 𝒁-全体整数集 𝑦𝑖 𝑥 𝜃 𝑟 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 2.复数的极坐标表示：
举例 1.写出下列各复数的辐角与辐角主值 y(虚轴) (虚轴) (1) 1=2+2i (2) 2=-2 0=180° 0=450 解：(1)arg21=-年，k∈2 (2）argz2=π， Argz argz +2kn=+2kn. Argz2=π+2kπ，kEZ
(1) 举例 (2) 1.写出下列各复数的辐角与辐角主值 解：（1）arg𝑧1 = 𝜋 4 , 𝑘 ∈ 𝑍 𝐴𝑟𝑔𝑧1 = arg𝑧1 + 2𝑘𝜋 = 𝜋 4 + 2𝑘𝜋. （2）arg𝑧2 = 𝜋, 𝐴𝑟𝑔𝑧2 = 𝜋 + 2𝑘𝜋，𝑘 ∈ 𝑍
3复数的三角表示：为 个y(虚轴) yi z=r(cose isine) x(实轴) 由极坐标变换知：x=rcos0,y=rsin0 复数z可表示为：z=x+iy=r(cos0+isin0) 称之为复数z的三角表示
3.复数的三角表示： 𝑶 𝒙(实轴) 𝒚(虚轴) 𝑦𝑖 𝑥 𝜃 𝑟 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃) 由极坐标变换知：𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝒚 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽 复数𝒛可表示为：𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽) 称之为复数𝒛 的三角表示
举例 2:下列各式哪个是复数的三角形式： (1)z1=3(c0s30°+isin45) (2)z2=-3(cos30°+isin30) (3)Z3 sine icos0 924=2(cos导+isim3
2：下列各式哪个是复数的三角形式： (1) 𝑧1 = 3(𝑐𝑜𝑠30𝑜 + 𝑖𝑠𝑖𝑛45𝑜 ) (2) 𝑧2 = −3(𝑐𝑜𝑠30𝑜 + 𝑖sin 30𝑜 ) (3) 𝑧3 = sin𝜃 + 𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃 (4) 𝑧4 =2(cos 𝜋 4 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 ) √ 举例
4.复数的主辐角计算 arctan,(x>0,y >0) arctan,(x 0,y 0) arctan- argz arctan兰-π，(x<0,y<0) 辐角击值ar9ZarC料王 (3 +π 例：()暑=2+引 2 arctan =π-arctant 2
4.复数的主辐角计算 𝒂𝒓𝒈𝒛 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒙 ,(𝒙 > 𝟎,𝒚 > 𝟎) 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒙 ,(𝒙 > 𝟎,𝒚 𝟎) 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒙 − 𝝅,(𝒙 < 𝟎,𝒚 < 𝟎) O x y 𝑎𝑟𝑔𝑧 𝒛 𝒛 𝑎𝑟𝑔𝑧 O x y 𝒂𝒓𝒈𝒛 𝒛 𝒛 𝒂𝒓𝒈𝒛 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒙 例： （1）𝒛 =2+3i 辐角主值𝒂𝒓𝒈𝒛=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟐 （2）𝒛 =2−3i 辐角主值𝒂𝒓𝒈𝒛=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 − 𝟑 𝟐 = −𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟐 （3）𝒛 = −2+3i 辐角主值𝒂𝒓𝒈𝒛=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 −𝟐 + 𝝅 =𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟐 （4）𝒛 = −2−3i 辐角主值𝒂𝒓𝒈𝒛=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟐 − 𝝅