解析函数
解 析 函 数
第七讲 初等函数之三角函数
第七讲 初等函数之三角函数
初等函数 1.三角函数 定义1：对于任意复数z=x+iy,函数sinz= eiz-e-iz 2i 分别称为复变量z的正弦函数和余弦函数： COSZ Sinz etz-e-iz i(el-e-)l(e-tz-elr) 2i 2 2 COS(z+2=lt2n+e-iG+2)ezte- 2 2 sinz,c0sz都是单值函数和周期函数
初等函数 1.三角函数 定义1：对于任意复数𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚,函数𝒔𝒊𝒏𝒛 = 𝒆 𝒊𝒛−𝒆 −𝒊𝒛 𝟐𝒊 ， 𝒄𝒐𝒔𝒛 = 𝒆 𝒊𝒛+𝒆 −𝒊𝒛 𝟐 ,分别称为复变量𝒛的正弦函数和余弦函数。 s𝒊𝒏𝒛, 𝒄𝒐𝒔𝒛都是单值函数和周期函数。 𝒔𝒊𝒏𝒛 = 𝒆 𝒊𝒛−𝒆 −𝒊𝒛 𝟐𝒊 = −𝒊(𝒆 𝒊𝒛−𝒆 −𝒊𝒛) 𝟐 = 𝒊(𝒆 −𝒊𝒛−𝒆 𝒊𝒛) 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝒛 + 𝟐𝝅) = 𝒆 𝒊(𝒛+𝟐𝝅)+𝒆 −𝒊(𝒛+𝟐𝝅) 𝟐 = 𝒆 𝒊𝒛+𝒆 −𝒊𝒛 𝟐
三角函数的性质 (1)运算法则：sin2z+c0s2z=1 c0s(z1±z2)=c0Sz1c0sz2干sinz1sinz2, sin(z1±z2)=sinz1c0sz2±c0Sz1Sinz2, (2)奇偶性：sinz奇函数，cosz偶函数； (3)解析性：在复平面上处处解析 (cosz)'=-sinz ,(sinz)'=cosz (4)无界性在复平面上无界。 例cosy=7无界，y)
三角函数的性质 （1）运算法则： cos 𝒛𝟏 ± 𝒛𝟐 = 𝒄𝒐𝒔𝒛𝟏𝒄𝒐𝒔𝒛𝟐 ∓ 𝒔𝒊𝒏𝒛𝟏𝒔𝒊𝒏𝒛𝟐, s𝒊𝒏 𝒛𝟏 ± 𝒛𝟐 = 𝒔𝒊𝒏𝒛𝟏𝒄𝒐𝒔𝒛𝟐 ± 𝒄𝒐𝒔𝒛𝟏𝒔𝒊𝒏𝒛𝟐, s𝒊𝒏 𝟐𝒛 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒛 = 𝟏 （2）奇偶性： 𝒔𝒊𝒏𝒛 奇函数，cosz 偶函数； （3）解析性：在复平面上处处解析 (𝒄𝒐𝒔𝒛)ˊ = −𝒔𝒊𝒏𝒛 , (𝒔𝒊𝒏𝒛)ˊ = 𝒄𝒐𝒔𝒛 （4）无界性:在复平面上无界。 例cos 𝒊𝒚 = e −y+e y 2 无界, （𝒚 → ∞）
(6)其它三角函数： sinz tanz= COSZ COSZ cotz= sinz 1 secz 1 CSCZ= sinz
（6）其它三角函数： 𝐭𝐚𝐧 𝒛 = 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒄𝒐𝒔𝒛 𝒄𝒐𝒕𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝒛 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒔𝒆𝒄𝒛 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒛 𝒄𝒔𝒄𝒛 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒛
举例 例1：求cos(1+)的值。 解： c0s(1+)=e1+0+e-i+0-e-1+el-i 2 2 ei-1 e-1(cos1+isin1) e1-i=e(cos(-1)+isin(-1)) e1-i=e(cos1-isin1) cos()im1
例1：求𝒄𝒐𝒔(𝟏 + 𝒊)的值。 解： cos(𝟏 + 𝒊)= 𝒆 𝒊 𝟏+𝒊 +𝒆 −𝒊(𝟏+𝒊) 𝟐 = 𝒆 𝒊−𝟏+𝒆 𝟏−𝒊 𝟐 举例 𝒆 𝒊−𝟏 = 𝒆 −𝟏 (𝒄𝒐𝒔𝟏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝟏) 𝑒 1−𝑖 = 𝑒(cos −1 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 −1 ) 𝑒 1−𝑖 = 𝑒(cos 1 − 𝑖𝑠𝑖𝑛1) cos(𝟏 + 𝒊)= 𝒆 −𝟏+𝒆 𝟐 cos1+𝑖 𝒆 −𝟏−𝒆 𝟐 𝑠𝑖𝑛1
举例 例2：求sini的值。 解： sini=e-1-e=(e-e-1)i 2i 2 例3：解方程sinz+cosz=0. 解：simz+cosz=V2(cos年sinz+sincosz2)=0 =V2sin(任+z-o v2sin(任+z)=V2-。 一=0 2i e2i(经+2-2km=e0=1z=km-T,k∈Z
例2：求𝒔𝒊𝒏𝒊的值。 解： s𝒊𝒏𝒊= 𝒆 −𝟏−𝒆 𝟐𝒊 = (𝒆−𝒆 −𝟏)𝒊 𝟐 举例 例3：解方程𝒔𝒊𝒏𝒛 + 𝒄𝒐𝒔𝒛 = 𝟎. 解： 𝒔𝒊𝒏𝒛 + 𝒄𝒐𝒔𝒛 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝒛 + 𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝒛 = 𝟎 = 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 + 𝒛 =0 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 + 𝒛 = 𝟐 𝒆 𝒊( 𝝅 𝟒 +𝒛)−𝒆 −𝒊( 𝝅 𝟒 +𝒛) 𝟐𝒊 =0 𝒆 𝟐𝒊 𝝅 𝟒 +𝒛 −𝟐𝒌𝝅 = 𝒆 𝟎 = 𝟏 ∴ 𝒛 = 𝒌𝝅 − 𝝅 𝟒 , 𝒌 ∈ 𝒁
基础练习 1:计算c0s的值。 e-1+e 解： cosi= 2 2:计算sin3i的值。 解：sin3i=e-3-e3=e3-e-3 2i 2
基础练习 1：计算𝒄𝒐𝒔𝒊的值。 解： 𝒄𝒐𝒔𝒊 = 𝒆 −𝟏 + 𝒆 𝟐 2：计算𝒔𝒊𝒏𝟑𝒊的值。 解： 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒊 = 𝒆 −𝟑−𝒆 𝟑 𝟐𝒊 = (𝒆 𝟑−𝒆 −𝟑)𝒊 𝟐
2.反三角函数 定义2：若c0Sw=z,则w称为复变量z反余弦函数， 记为w=Arccosz. 反余弦函数w=Arcc0sz=-iLn(z+√z2-1) 反正弦函数w=Arcsinz=-iLn(iz+√1-z2) ii+z 反正切函数w=Arctanz=2Ln-z 都是多值函数
2.反三角函数 定义2：若𝒄𝒐𝒔w = 𝒛 ,则𝒘称为复变量𝒛反余弦函数， 记为𝒘 = 𝑨𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒛. 反余弦函数𝒘 = 𝑨𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒛 = −𝒊𝑳𝒏(𝒛 + 𝒛 𝟐 − 𝟏) 反正弦函数𝒘 = 𝑨𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒛 = −𝒊𝑳𝒏(𝒊𝒛 + 𝟏 − 𝒛 𝟐) 反正切函数𝒘 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒛 = 𝒊 𝟐 𝑳𝒏 𝒊 + 𝒛 𝒊 − 𝒛 都是多值函数
3.双曲函数 定义3：双曲正弦函数isinhz=e,sinhz=-isiniz 双曲余弦函数icoshz=t,coshz=cosiz 双曲正切函数tanh2=,tanhz=-itaniz 双曲余切函数cothz=cothz=icouz 单值函数，2πi为周期，sinhz:奇函数；coshz:偶函数； (sinhz)'=coshz (coshz)'=sinhz
3.双曲函数 定义3：双曲正弦函数𝒔𝒊𝒏𝒉𝒛 = 𝒆 𝒛−𝒆 −𝒛 𝟐 , 𝒔𝒊𝒏𝒉𝒛 = −𝒊 𝒔𝒊𝒏𝒊𝒛 双曲余弦函数cos𝒉𝒛 = 𝒆 𝒛+𝒆 −𝒛 𝟐 , cos𝒉𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝒊𝒛 双曲正切函数𝒕𝒂𝒏𝒉𝒛 = 𝒆 𝒛−𝒆 −𝒛 𝒆 𝒛+𝒆−𝒛 ,𝒕𝒂𝒏𝒉𝒛 = −𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒊𝒛 双曲余切函数co𝒕𝒉𝒛 = 𝒆 𝒛+𝒆 −𝒛 𝒆 𝒛−𝒆−𝒛 , co𝒕𝒉𝒛 = 𝒊 𝒄𝒐𝒕𝒊𝒛 单值函数，2𝝅𝑖为周期， 𝒔𝒊𝒏𝒉𝒛：奇函数； cos𝒉𝒛：偶函数； （𝒔𝒊𝒏𝒉𝒛) ′ = cos𝒉𝒛 , （𝒄𝒐𝒔𝒉𝒛) ′ = 𝒔𝒊𝒏𝒉𝒛