拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
第三讲 拉普拉斯变换的性质
第三讲 拉普拉斯变换的性质
1拉普拉斯变换的性质 5、微分性质： I.导数的像函数 设F(s)=c[f(t)],则有c[f'(t)]=sF(s)-f(O) c[f"(t)]=s2F(s)-sf(0)-f'(0) C[f"(t)]=s3F(s)-s2f(0)-sf'(0)-f"(0) C[f(n)(t)]=s"F(s)-sm-1f(0)-.-f(n-1(0) f(o)理解为f(t
1.拉普拉斯变换的性质 5、微分性质： Ⅰ.导数的像函数 𝓛 𝒇′ 𝒕 =𝐬𝑭 𝐬 − 𝒇 𝟎 . 𝓛 𝒇 (𝒏) 𝒕 =𝒔 𝒏𝑭 𝒔 − 𝒔 𝒏−𝟏𝒇 𝟎 −.−𝒇 𝒏−𝟏 (𝟎) 设𝑭(𝒔)=𝓛 𝒇 𝒕 ，则有 𝒇 𝒌 (𝟎)理解为 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎+ 𝒇 𝒌 𝒕 . 𝓛 𝒇′′ 𝒕 =𝐬 𝟐𝑭 𝐬 − 𝒔𝒇 𝟎 − 𝒇′(𝟎). 𝓛 𝒇′′′ 𝒕 =𝐬 𝟑𝑭 𝐬 − 𝐬 𝟐𝒇 𝟎 − 𝐬𝒇 ′ 𝟎 − 𝒇′′(𝟎). ⋯
证明：c[f'(t]=estf'(t)dt =e-stdf(t) =f@et+sf④ed证 =sc[f(t)]-f(O)=sF(s)-f(0) 同理：C[f(t)]=sC[f'(t)]-f'(0) =s2F(s)-sf(0)-f'(0) c[fm(t)]=snF(s)-sn-1f(0)-.-fm-1D(0)
�� = �� ′�� �� :证明 +∞ 𝒆 −𝒔𝒕𝒇 ′ 𝒕 𝒅𝒕 = 𝐬 𝓛 𝒇 𝒕 − 𝒇(𝟎) = 𝒔𝑭(𝒔) − 𝒇(𝟎) 同理：𝓛 𝒇′′ 𝒕 = 𝒔𝓛 𝒇′(𝒕) − 𝒇 ′ 𝟎 = 𝒇 𝒕 𝒆 −𝒔𝒕 ฬ +∞ 𝟎 �� �� + +∞ 𝒇(𝒕)𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒕 = 𝒔 𝟐𝑭 𝒔 − 𝒔𝒇 𝟎 − 𝒇′(𝟎) �� = +∞ 𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒇(𝒕) 𝓛 𝒇 (𝒏) 𝒕 =𝒔 𝒏𝑭 𝒔 − 𝒔 𝒏−𝟏𝒇 𝟎 −.−𝒇 𝒏−𝟏 (𝟎) ⋯
举例 例1：求解微分方程y"(t)+ω2y(t)=0, y(0)=0,y(0)=w. 解：设cy(t]=Y(s),则 C[y"(t)]=s2Y(s)-sy(0)-y'(0) =s2Y(S)-ω 对方程两边取拉氏变换，y'(t)+ω2y(t)】=0. s2Y(s)-ω+w2Y(S)=0 (s2+w2)Y(s)=ω V(s)=2+o2 C-1Y(s)]=sinat
举例 例1：求解微分方程𝒚 ′′ 𝒕 + 𝝎𝟐𝒚 𝒕 = 𝟎, 解：设𝓛[𝒚(𝒕)] = 𝒀(𝒔),则 𝓛[𝒚 ′′ 𝒕 ] = 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝒔𝒚 𝟎 − 𝒚 ′ 𝟎 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝝎 + 𝝎𝟐𝒀 𝒔 = 𝟎 (𝒔 𝟐+𝝎𝟐 )𝒀 𝒔 = 𝝎 𝒀 𝒔 = 𝝎 𝒔 𝟐+𝝎𝟐 𝓛 −𝟏 [𝒀 𝒔 ] = 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝒚 𝟎 = 𝟎, 𝒚 ′ 𝟎 = 𝝎. 对方程两边取拉氏变换， = 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝝎 𝓛[𝒚 ′′ 𝒕 + 𝝎𝟐𝒚 𝒕 ] = 𝟎
基础练习 1.求解微分方程y"(t)+4y(t)=0, y(0)=0,y(0)=2. 解：设cy(t]=Y(s),则 C[y'(t)]=s2Y(s)-sy(0)-y(0) =s2Y(s)-2 对方程两边取拉氏变换，C[y"(t)+4y(t)]=0. s2Y(s)-2+4Y(S)=0 (s2+4)Y(S)=2 )=品4 C-1[Y(s)]=sin2t
基础练习 1.求解微分方程𝒚 ′′ 𝒕 + 𝟒𝒚 𝒕 = 𝟎, 解：设𝓛[𝒚(𝒕)] = 𝒀(𝒔),则 𝓛[𝒚 ′′ 𝒕 ] = 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝒔𝒚 𝟎 − 𝒚 ′ 𝟎 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝟐 + 𝟒𝒀 𝒔 = 𝟎 (𝒔 𝟐+𝟒)𝒀 𝒔 = 𝟐 𝒀 𝒔 = 𝟐 𝒔 𝟐+𝟒 𝓛 −𝟏 [𝒀 𝒔 ] = 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕 𝒚 𝟎 = 𝟎, 𝒚 ′ 𝟎 = 𝟐. 对方程两边取拉氏变换， = 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝟐 𝓛[𝒚 ′′ 𝒕 + 𝟒𝒚 𝒕 ] = 𝟎
举例 例2：求f(t)=tm(m∈Z+)的拉氏变换。 解：方法一：定义求解 ct]=esdt=-号tmde-t m-e-stdtCm =g2ct-2=-. m! m! =3mc1=
例2：求𝒇 𝒕 = 𝒕 𝒎 𝒎 ∈ 𝒁 + 的拉氏变换。 解：方法一：定义求解 𝓛[𝒕 �� = [�� +∞ 𝒕 𝒎𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒕 = − 𝟏 𝒔 �� +∞ 𝒕 𝒎𝒅𝒆 −𝒔𝒕 = 𝒎(𝒎−𝟏) 𝒔 𝟐 𝓛[𝒕 𝒎−𝟐 ] =. = 𝒎! 𝒔𝒎 𝓛[𝟏] = 𝒎! 𝒔𝒎+𝟏 举例 = 𝒎 𝒔 �� +∞ 𝒕 𝒎−𝟏𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒕 = 𝒎 𝒔 𝓛[𝒕 𝒎−𝟏 ] = − ቚ 𝒕𝒎𝒆 −𝒔𝒕 𝒔 𝟎 +∞ + 𝒎 𝒔 �� +∞ 𝒕 𝒎−𝟏𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒕
解：方法二：f'(t)=(tmy'=mtm-1 f"(t)=(tm)=m(m-1)tm-2 f(m)(t)=m!, fm-1)(0)=.=f'(0)=f(0) c[fm(t]=smF(s)-sm-1f(0)-.-fm-10(0) =smF(s) m! C[m!] FS)=m· m!
解：方法二： 𝓛 𝒇 𝒎 𝒕 = 𝐬 𝐦𝑭 𝒔 − 𝐬 𝐦−𝟏𝒇 𝟎 − ⋯ − 𝒇 𝒎−𝟏 𝟎 𝑭(𝒔) = 𝒎! 𝒔𝒎+𝟏 𝓛[𝒎 . !] = 𝒎! 𝐬 𝒇 ′ 𝒕 = (𝒕 𝒎)′ = 𝒎𝒕 𝒎−𝟏 𝒇 ′′ 𝒕 = (𝒕 𝒎)′′ = 𝒎(𝒎 − 𝟏)𝒕 𝒎−𝟐 . 𝒇 𝒎 𝒕 = 𝒎!, 𝒇 𝒎−𝟏 𝟎 = ⋯ = 𝒇 ′ 𝟎 = 𝒇(𝟎) = 𝐬 𝐦𝑭 𝒔
基础练习 2.求3，t,t3,t6,t5t+6t3-4的拉氏变换。 解： 81-号 1 c0= c的-别 61 c[t1= 1 ciltll s c5+6c-4-5克+6 !4 4
基础练习 2. 求 𝟑, 𝒕, 𝒕 𝟑 , 𝒕 𝟔 , 𝒕 , 𝟓𝒕 + 𝟔𝒕 𝟑 − 𝟒 的拉氏变换。 𝓛[𝟑] = 𝟑 𝒔 𝓛[𝒕 𝟑 ] = 𝟑! 𝒔 𝟒 𝓛[𝒕 𝟔 ] = 𝟔! 𝒔 𝟕 𝓛[|𝒕|] = 𝟏 𝒔 𝟐 𝓛[𝒕] = 𝟏 𝒔 𝟐 𝓛 𝟓𝒕 + 𝟔𝒕 𝟑 − 𝟒 = 𝟓 𝟏 𝒔 𝟐 + 𝟔 𝟑！ 𝒔 𝟒 − 4 s 解：
基础练习 3.求下列像函数F(S)的拉氏逆变换。 S 412 2 5 6 F(S)= 十一 52+9s s5 S-2 s+1s2+4 解： 1[4=co3t-1图=4 周=1图引- 1[2=2e2 =5e-t c-1 3sin2t L-1[F(s)=cos3t+4-2e+5e-3sin2t 2
基础练习 3.求下列像函数𝑭(𝒔)的拉氏逆变换。 𝑭(s) = 𝒔 𝒔 𝟐 + 9 + 𝟒 𝒔 − 𝟏𝟐 𝒔 𝟓 − 𝟐 s − 𝟐 + 𝟓 𝒔 + 𝟏 − 𝟔 𝒔 𝟐 + 𝟒 𝓛 −𝟏 𝑭 𝒔 = 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕 + 𝟒 − 𝒕 𝟒 𝟐 − 2𝒆 𝟐𝒕 + 5𝒆 −𝒕 − 𝟑𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕 解： 𝓛 −𝟏 𝒔 𝒔 𝟐+9 = 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕 𝓛 −𝟏 4 s = 𝟒 𝓛 −𝟏 12 s 5 = 𝓛 −𝟏 𝟒! s 5 ∙ 𝟏 𝟐 = 𝒕 𝟒 𝟐 𝓛 −𝟏 𝟐 s−𝟐 =2𝒆 𝟐𝒕 𝓛 −𝟏 𝟓 𝒔+𝟏 =5𝒆 −𝒕 𝓛 −𝟏 𝟔 𝒔 𝟐+𝟒 = 𝟑𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕