模拟题一 一填空题（每小题3分，共24分） 1.自然数从小到大为标准次序，则排列32514的逆序数为 2.若A、B均为n阶可逆阵，且满足AXB=E(E为n阶单位阵)，则矩阵一 3.设向量组41=(1,11)，a2=(1,2,3),a3=(3,4,),则当1=，a1,2,a3线性相关. 4,若n阶方阵可逆，则A的秩R(A)= 2x+x2+x3=0 5.当1= ，方程组x,+x2+x=0有非零解. +x2+x=0 6,若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且(AB)=一 T.如果n阶矩阵A满足A'A=E,则称A为 8.二次型f=x2-3z2-4xy+2的矩阵A= 二解答题（共64分） x aaa 1.计第D,=a。 (8分 aa x a aaa x (111月(123 2.设矩阵A=-111B=221 1-11343 求(1)A+2B(4分)(2)AB(6分)(3)B-(10分) 3.己知向量组a1=11,22),a2=(0,2,15)',a=(2,0,3,-1),a4=(11,0.4). 求(1)向量组的秩.(2)判定向量组的线性相关性.(3)求列向量组的一个最大无关组.(9分)
模 拟 题 一 一 填空题（每小题３分，共２４分） １．自然数从小到大为标准次序，则排列 32514 的逆序数为 ． ２．若 A、B 均为 n 阶可逆阵，且满足 AXB = E(E 为 n 阶单位阵），则矩阵 ． ３．设向量组 (1,1,1), (1,2,3), (3,4, ) 1 2 3 = = = t ，则当 t = ， 1 2 3 , , 线性相关． ４．若ｎ阶方阵可逆，则 −1 A 的秩 = − ( ) 1 R A ． ５．当 = ，方程组 + + = + + = + + = 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 有非零解． ６．若 A, B 为同阶矩阵且均可逆，则 AB 也可逆，且 = −1 (AB) ． ７．如果 n 阶矩阵 A 满足 A A E T = ，则称 A 为 ． ８．二次型 f = x − 3z − 4xy + yz 2 2 的矩阵 A = ． 二 解答题 （共６４分） １．计算 a a a x a a x a a x a a x a a a D4 = ． （８分） ２．设矩阵 = − = − 3 4 3 2 2 1 1 2 3 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A B ． 求（１） A + 2B （４分） （２） AB （６分） （3） −1 B （１０分） ． ． ３．已知向量组 T T T T (1,1,2,2) , (0,2,1,5) , (2,0,3, 1) , (1,1,0,4) 1 = 2 = 3 = − 4 = ． 求（１）向量组的秩．（２）判定向量组的线性相关性．（３）求列向量组的一个最大无关组．（９分）
x1+x2-3x3-x4=1, 4.求非齐次线性方程组3x-x-3x+4x,=4,的通解。(12分) x1+5x2-9x3-8x=0. 400 5.已知矩阵A=031 013 (1)求A的特征值和特征向量.(9分). (2)求正交矩阵P,使P-AP为对角矩阵(6分). 三证命题（每小题6分，共12分） 1.设b=a1,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a,且向量组a1,a2,a,线性无关， 证明向量组b,b2,b,线性无关. 2.设A、B都是n阶矩阵，且A≠0，证明AB与BA相似
４．求非齐次线性方程组 + − − = − − + = + − − = 5 9 8 0． 3 3 4 4, 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 的通解．（１２分） ５．已知矩阵 = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A （1） 求 A 的特征值和特征向量．（９分）． （2） 求正交矩阵 P， 使 P AP −1 为对角矩阵 （６分）． 三 证命题 （每小题６分，共１２分） １．设 , , , b1 = a1 b2 = a1 + a2 b3 = a1 + a2 + a3 且向量组 1 2 3 a ,a ,a 线性无关， 证明向量组 1 2 3 b ,b ,b 线性无关． 2．设 A、B 都是 n 阶矩阵，且 A 0, ，证明 AB 与 BA 相似．