拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
第一讲 拉普拉斯变换的概念
第一讲 拉普拉斯变换的概念
拉普拉斯变换 1.拉普拉斯变换 傅里叶变换的局限性： ①函数满足狄氏条件，还要在R上绝对可积，简单线性 函数、正弦、余弦函数等都不满足。 ②引入6函数后，虽拓宽了，但对于以指数级增长的函数 无能为力。 ③定义域须在R上有定义，工程问题是t<0无意义
拉普拉斯变换 1.拉普拉斯变换 傅里叶变换的局限性： ①函数满足狄氏条件，还要在R上绝对可积，简单线性 函数、正弦、余弦函数等都不满足。 ②引入𝜹函数后，虽拓宽了，但对于以指数级增长的函数 无能为力。 ③定义域须在R上有定义，工程问题是𝒕 < 𝟎无意义
1拉普拉斯变换定义 定义：设函数f(t)是定义在[0，+o∞)上的实值函数，如果对于 复参数s=B+jω，积分 +00 F(s)= f(t)e-stdt 在复平面s的某一区域内收敛，则称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换 简称拉氏变换，记为F(s)=C[f(t)】;f(t)称为F(S)的拉普拉斯 逆变换，简称拉氏逆变换，记为f(t)=c-1[F(s)]: f(t):像原函数 F(S):像函数
1.拉普拉斯变换定义 定义：设函数𝐟(𝐭)是定义在[0,+∞)上的实值函数，如果对于 复参数𝐬 = 𝜷 + 𝒋𝝎,积分 在复平面s的某一区域内收敛,则称𝑭(𝐬)为𝒇(𝒕)的拉普拉斯变换. 简称拉氏变换，记为𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 ; 𝒇(𝒕)称为𝑭(s)的拉普拉斯 逆变换，简称拉氏逆变换，记为𝒇(𝒕)=𝓛 −𝟏 [𝑭(s)]. 𝑭 𝒔 = න 𝟎 +∞ 𝒇 𝒕 𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒕 𝒇 𝒕 :像原函数 𝑭 𝒔 :像函数
2.拉氏变换于傅氏变换的关系 CIf(t)]=f(t)e-stdt=f(t)e-.e-jwtdt =∫f()u(t)eBte-jot dt F[f(t)u(t)e-Bt] 补充：设s=B+jω，B>0,ω∈R. lim e-st=lim e-Bt-jot lim e-Bte-jot t→+0∞ t→+0∞ t-→+∞ lim e-Bt[cosot-jsinwt] t→十0∞ :lime-Bt=0,lcosωt-jsinωt|=1 t→+o∞ :Lime-st=0.(有界函数与无穷小的乘积)。 t-→+o0
2.拉氏变换于傅氏变换的关系 �� = �� �� �� +∞ 𝒇 𝒕 𝒆 �� = �𝒅𝒕𝒔�− +∞ 𝒇 𝒕 𝒆 −𝜷𝒕 ∙ 𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 ∞− = +∞ 𝒇(𝒕)𝒖(𝒕)𝒆 −𝜷𝒕𝒆 −𝒋𝝎𝒕 𝒅𝒕 = 𝓕[𝒇 𝒕 𝒖 𝒕 𝒆 −𝜷𝒕 ] 补充：设𝒔 = 𝜷 + 𝒋𝝎,𝜷 > 𝟎, 𝝎 ∈ 𝑹. 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝒔𝒕 = 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝜷𝒕−𝒋𝝎𝒕 = 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝜷𝒕𝒆 −𝒋𝝎𝒕 = 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝜷𝒕 [𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 − 𝒋𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕] ∵ 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝜷𝒕 = 𝟎, 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 − 𝒋𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 = 𝟏 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝒔𝒕 = 𝟎 .(有界函数与无穷小的乘积）
举例 例1：分别求单位阶跃函数u(t), 符号函数sgnt,f(t)=1的拉氏变换。 解： c[u(t】=0u(t)e-sdt=J。te-stdt =-e|t0=Res>0) 0 Csgnt]sgnt.edtestdt= (Res >0) c1。e-stdt=月 (Res >0) 说明：一般约定，在拉氏变换中所提到的函数f(t),均理解 为t<0时取零值，如f(t)=sint,表示f(t)=u(t)sint
举例 例1：分别求单位阶跃函数𝒖 𝐭 , 符号函数𝒔𝒈𝒏𝐭, 𝒇 𝒕 = 𝟏的拉氏变换。 �� = �� �� �� :解 +∞ 𝒖 𝒕 𝒆 �� = �𝒅𝒕𝒔�− +∞ 𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒕 = − 𝟏 𝒔 𝒆 −𝒔𝒕 ฬ +∞ 𝟎 = 𝟏 𝒔 (𝑹𝒆𝒔 > 𝟎) �� = [�𝒏𝒈𝒔�]�� +∞ 𝒔𝒈𝒏𝒕 ∙ 𝒆 �� = �𝒅𝒕𝒔�− +∞ 𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒕 = 𝟏 𝒔 ��=[��]�� +∞ 𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒕 = 𝟏 𝒔 (𝑹𝒆𝒔 > 𝟎) (𝑹𝒆𝒔 > 𝟎) 说明：一般约定，在拉氏变换中所提到的函数𝒇 𝒕 ,均理解 为𝐭 < 𝟎时取零值，如𝒇(𝒕) = 𝒔𝒊𝒏𝒕,表示𝒇(𝒕) = 𝒖(𝒕)𝒔𝒊𝒏𝒕
举例 例2：分别求eat,eat,ejwt的拉氏变换 (a>0,w为实常数). 解：c[ea]=edt=ea-srdt =ea-t0= (Res>a) Cle-a]=e-ate-stdt=e-(atsdt (Res>-a) e]elote-stdt=ej-s)tdt -)t 0 (Res >0)
举例 例2：分别求𝒆 𝜶𝒕 ,𝒆 −𝜶𝒕 ,𝒆 𝒋𝝎𝒕的拉氏变换 (𝜶 > 𝟎, 𝝎为实常数）. 解： 𝓛 𝒆 �� = �𝜶� +∞ 𝒆 𝜶𝒕𝒆 �� = �𝒅𝒕𝒔�− +∞ 𝒆 (𝜶−𝒔)𝒕𝒅𝒕 𝓛 𝒆 �� = �𝜶�− +∞ 𝒆 −𝜶𝒕𝒆 �� = �𝒅𝒕𝒔�− +∞ 𝒆 −(𝜶+𝒔)𝒕𝒅𝒕 𝓛[𝒆 𝒋𝝎𝒕 �� = [ +∞ 𝒆 𝒋𝝎𝒕𝒆 �� = �𝒅𝒕𝒔�− +∞ 𝒆 (𝒋𝝎−𝒔)𝒕𝒅𝒕 = 𝟏 𝒋𝝎−𝒔 𝒆 𝒋𝝎−𝒔 𝒕 ฬ +∞ 𝟎 = 𝟏 𝒔−𝒋𝝎 = − 𝟏 𝜶+𝒔 𝒆 𝜶+𝒔 𝒕 ฬ +∞ 𝟎 = 𝟏 𝒔+𝜶 = 𝟏 𝜶−𝒔 𝒆 𝜶−𝒔 𝒕 ฬ +∞ 𝟎 = 𝟏 𝒔−𝜶 (𝑹𝒆𝒔 > 𝜶) (𝑹𝒆𝒔 > −𝜶) (𝑹𝒆𝒔 > 𝟎)
2.拉普拉斯变换存在定理 定理1：设函数f(t)它满足： (1)在t≥0的任何有限区间上分段连续， (2)当t→+oo时，f(t)具有限的增长性，即存在常数 M>0及c,使得引f(t)川≤Mect(0≤tc上一定存在，且是解析的
2.拉普拉斯变换存在定理 定理1：设函数𝒇(𝒕)它满足： (1)在𝒕 ≥ 0的任何有限区间上分段连续， (2)当𝒕 → +∞时，𝒇(𝒕)具有限的增长性，即存在常数 𝑴 > 𝟎及c,使得 𝒇 𝒕 ≤ 𝑴𝒆 𝒄𝒕(𝟎 ≤ 𝒕 𝒄上一定存在，且是解析的
证明：设s=B+jw,则lest|=e-Bt IF(s)=f(t)e-stdtMe-(B-tdt 由Res=B>c,即B-c>0,可知上式右端积分收敛， 因此F(S)在半平面Res>c上存在。 关于存在域，F(S)为下列三者之一： (1)F(S)不存在； (2)F(s)处处存在，存在域为全平面； (3)存在实数so,当Res>So时，F(s)存在，当 Resso·
证明：设𝐬 = 𝜷 + 𝒋𝝎,则 𝒆 −𝒔𝒕 = 𝒆 −𝜷𝒕 �� = (��)�� +∞ 𝒇 𝒕 𝒆 �� �� ≥ �𝒅𝒕𝒔�− +∞ 𝒆 − 𝜷−𝒄 𝒕𝒅𝒕 由𝑹𝒆𝒔 = 𝜷 > 𝒄,即𝜷 − 𝒄 > 𝟎,可知上式右端积分收敛， 因此𝑭(𝒔)在半平面𝑹𝒆𝒔 > 𝒄上存在。 关于存在域, 𝑭(𝒔) 为下列三者之一： （1）𝑭(𝒔)不存在； （2）𝑭(𝒔)处处存在，存在域为全平面； （3）存在实数𝒔𝟎,当𝑹𝒆𝒔 > 𝒔𝟎时，𝑭(𝒔) 存在，当 𝑹𝒆𝒔 𝒔𝟎
举例 例3：求eat的拉氏变换(a为复常数)。 解： 由leat]=eReat,f(t)的拉氏变换在Res>Rea 内解析。 -00 十00 eeet e(a-s)tdt -ea-rt0=d
举例 例3：求𝒆 𝒂𝒕的拉氏变换(𝒂为复常数）。 解： 由 𝒆 𝒂𝒕 = 𝒆 𝑹𝒆𝒂𝒕 , 𝒇(𝒕)的拉氏变换在𝐑𝐞𝐬 > 𝑹𝒆𝒂 𝓛[𝒆 𝒂𝒕] = න 𝟎 +∞ 𝒆 𝒂𝒕𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒕 = න 𝟎 +∞ 𝒆 (𝒂−𝒔)𝒕𝒅𝒕 内解析。 = 𝟏 𝒂−𝒔 𝒆 𝒂−𝒔 𝒕 ฬ +∞ 𝟎 = 𝟏 𝒔−𝒂