留数及其应用
留数及其应用
第一讲 弧立奇点
第一讲 孤立奇点
留数及其应用 1.孤立奇点 复习：若函数f(z)在z处不解析，但在2o的任意 邻域内总有f(z)的解析点则称z,为函数f(z)的奇点。 定义1：设z=z0为f(z)的一个奇点，且存在一个去 心领域0<|z-z0l<6,f(z)在其中处处解析，则称z为 f(z)的孤立奇点
留数及其应用 1.孤立奇点 定义1：设𝒛 = 𝒛𝟎为𝒇(𝒛)的一个奇点，且存在一个去 心领域𝟎 < |𝒛 − 𝒛𝟎 | < 𝜹, 𝒇(𝒛)在其中处处解析，则称𝒛𝟎为 𝒇(𝒛)的孤立奇点。 复习：若函数𝒇(𝒛)在𝒛𝟎处不解析，但在𝒛𝟎的任意 邻域内总有𝒇(𝒛)的解析点则称𝒛𝟎为函数𝒇(𝒛)的奇点
举例 例1：z=0,为会，的孤立奇点。 刷2：z1=,z2=-1是函数f(a)=a-le+0 1 的两个 孤立奇点。 例3：zn=是(nEZ+)是函数f(z)=的孤立奇点， nπ sin 但z=0是奇点，但不是孤立奇点，因为在z=0的任 何邻域中都有2n=1的奇点
举例 例1：𝒛 = 𝟎,为 𝟏 𝒛 , 𝒆 𝒛−𝟏 𝒛 , 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒛 的孤立奇点。 例2：z𝟏 = 𝒊， 𝒛𝟐 = −𝟏是函数𝒇 𝒛 = 𝟏 (𝒛−𝒊)(𝒛+𝒊) 的两个 孤立奇点。 例3：zn = 𝟏 n𝝅 (𝒏 ∈ 𝒁 +)是函数𝒇 𝒛 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟏 𝒛 的孤立奇点， 但𝒛 = 𝟎 是奇点，但不是孤立奇点，因为在𝒛 = 𝟎 的任 何邻域中都有zn = 𝟏 n𝝅 的奇点
孤立奇点的分类 设z为f(z)的一个孤立奇点，在0<|z-zol<6中，f(Z) 解析，则f(z)可展成洛朗级数： 十00 fa)=∑ Cn (z-Zo)n n=-0o aa-0+ca-0 00 n=-00
孤立奇点的分类 设𝒛𝟎为𝒇(𝒛)的一个孤立奇点,在𝟎 < |𝒛 − 𝒛𝟎| < 𝜹中,𝒇(𝒛) 解析，则𝒇(𝒛)可展成洛朗级数： 𝒇 𝒛 = 𝒏=−∞ +∞ 𝒄𝒏 (𝒛 − 𝒛𝟎) 𝒏 = 𝒏=𝟎 ∞ 𝒄𝒏(𝒛 − 𝒛𝟎) 𝒏 + 𝒏=−∞ −𝟏 𝒄𝒏(𝒛 − 𝒛𝟎) 𝒏
C-n C-n+1 C-1十 f②=.+a-2om+a-20n+.+z=70 C0+C1(z-z0)t+Cn(z-z0)+. 按展开式中负幂项部分的状况，把孤立点分成3类： (1)级数中不出现负幂项，z称为f(z)的可去奇点； (2)级数中只含有有限个负幂项，z称为f(z)的极点；若 c-m≠0，n<-m时，cn=0则称z为f(z)的m阶极点， m=1时称为简单极点。 (3)级数中含有无穷多个负幂项，z,称为f(z)的本性奇点：
按展开式中负幂项部分的状况，把孤立点分成3类： (1)级数中不出现负幂项， 𝒛𝟎称为𝒇(𝒛)的可去奇点； (2)级数中只含有有限个负幂项， 𝒛𝟎称为𝒇(𝒛)的极点；若 𝒄−𝒎 ≠ 𝟎，𝑛 < −𝒎时， cn = 𝟎则称𝒛𝟎为𝒇(𝒛) 的𝒎阶极点， 𝒎 = 𝟏时称为简单极点。 (3)级数中含有无穷多个负幂项， 𝒛𝟎称为𝒇(𝒛)的本性奇点； 𝒇(𝒛) = ⋯ + 𝒄−𝒏 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒏 + 𝒄−𝒏+𝟏 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒄−𝟏 𝒛 − 𝒛𝟎 + 𝒄𝟎 + 𝒄𝟏(𝒛 − 𝒛𝟎)+.+ 𝒄𝒏(𝒛 − 𝒛𝟎) 𝒏+.
几种常用的级数：z<+∞. 23 e2=1+z+ 2+3++ 十. n! z5 22n+1 sinz =Z- 3+5-.+（-10"”2m++. 22n coSz 1-
𝒆 𝒛 = 𝟏 + 𝒛 + 𝒛 𝟐 𝟐! + 𝒛 𝟑 𝟑! + ⋯ + 𝒛 𝒏 𝒏! + ⋯ 𝒔𝒊𝒏𝒛 = 𝒛 − 𝒛 𝟑 𝟑! + 𝒛 𝟓 𝟓! − ⋯ + (−𝟏) 𝒏 𝒛 𝟐𝒏+𝟏 (𝟐𝒏 + 𝟏)! + ⋯ cos𝒛 = 𝟏 − 𝒛 𝟐 𝟐! + 𝒛 𝟒 𝟒! − ⋯ + (−𝟏) 𝒏 𝒛 𝟐𝒏 (𝟐𝒏)! + ⋯ 几种常用的级数：|z|< +∞
(I)可去奇点： 定理1：设f(z)在0<|z-z0l<6内解析，则z是f(z)的 可去奇点的充要条件是：imf(z)=co Z→Z0 例1(1) -1++ 3了、2一、 典号=1,2=0为的可去奇点 lim -1+-+(1-1 (2n+1)！ 十. sinz lim =1·z=0为f(z)的可去奇点。 2→0
（Ⅰ)可去奇点 ： 定理1：设𝒇(𝒛) 在𝟎 < |𝒛 − 𝒛𝟎| < 𝜹内解析，则𝒛𝟎是𝒇(𝒛)的 可去奇点的充要条件是： 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒛𝟎 𝒇 𝒛 = 𝒄𝟎 例1 (1) 𝒆 𝒛−𝟏 𝒛 = 𝟏 + 𝒛 𝟐！ + 𝒛 𝟐 𝟑! + ⋯ + 𝒛 𝒏−𝟏 𝒏! + ⋯ ∵ 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟎 𝒆 𝒛−𝟏 𝒛 = 𝟏 ，∴ 𝒛 = 𝟎为 𝒆 𝒛−𝟏 𝒛 的可去奇点。 (2) 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒛 =1− 𝒛 𝟐 𝟑! + 𝒛 𝟒 𝟓! − ⋯ + (−𝟏) 𝒏−𝟏 𝒛 𝟐𝒏−𝟏 (𝟐𝒏+𝟏)! + ⋯ ∵ 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒛 = 𝟏 ∴ 𝒛 = 𝟎为𝒇(𝒛)的可去奇点
(Ⅱ)极点 定理2：设f(z)在0<z-zol<6内解析，则z0是f(z)的 极点的充要条件是：imf(z)=+o Z→Z0 zo是f(z)的m阶极点的充要条件是： (1)lim(z-zo)m f(z)=C-m, z→Z0 C-m是一个不为零的复常数，m∈Z+。 或(2) 20西0()，其中p(a在z处解折 f()= 且p(z0)卡0
(Ⅱ) 极点 定理2：设𝒇(𝒛) 在𝟎 < |𝒛 − z0| < 𝜹内解析，则𝒛𝟎是𝒇(𝒛)的 极点的充要条件是： 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒛𝟎 𝒇 𝒛 = +∞ 𝒛𝟎是𝒇(𝒛)的𝒎阶极点的充要条件是： 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒛𝟎 (𝒛 − 𝒛𝟎) 𝒎 𝒇 𝒛 = 𝑪−𝒎， 𝑪−𝒎 是一个不为零的复常数, 𝒎 ∈ 𝒁 + 。 （1） 或（2） 𝒇 𝒛 = 1 𝒛−𝒛𝟎 𝒎 𝝋(𝒛)，其中𝝋(𝒛)在𝒛𝟎处解析 且𝝋(𝒛𝟎) ≠ 𝟎
举例 例2：（1) sinz 11 22 z3=2-3+5 -.+（-1)"2mt￥、. “典警=+0，“z=0为的二阶极点。 (2) 婴=+-.(-1 22= (2n+1)月 四婴=+0，z=0为警的一阶极点简单极点) lim
例2： (1) 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒛 𝟑 举例 ∵ 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒛 𝟑 = +∞ ，∴ 𝒛 = 𝟎为 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒛 𝟑 的二阶极点。 (2) 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒛 𝟐 ∵ 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒛 𝟐 = +∞ ，∴ 𝒛 = 𝟎为 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒛 𝟐 的一阶极点(简单极点）. = 𝟏 𝒛 𝟐 − 𝟏 𝟑! + 𝒛 𝟐 𝟓! − ⋯ + (−𝟏) 𝒏 𝒛 𝟐𝒏−𝟑 (𝟐𝒏+𝟏)! + ⋯ = 𝟏 𝒛 − 𝒛 𝟑! + 𝒛 𝟑 𝟓! − ⋯ + (−𝟏) 𝒏 𝒛 𝟐𝒏−𝟐 (𝟐𝒏+𝟏)! + ⋯