复数与复变函数
复数与复变函数
第八讲 复变函数的极限与连续
第八讲 复变函数的极限与连续
复变函数的极限与连续 转1.复变函数的极限 定义1：设函数w=f(z),在z0的去心邻域内00，总 存在一个正数6，对于满足0<|z-zol<6(0<6≤p)的一切z, 都有f(z)-A<ε，则称A为f(z)当z→Zo时的极限，记作： lim f(z)=A Z→Z0 f(z)→A
复变函数的极限与连续 1.复变函数的极限 都有 𝒇 𝒛 − 𝑨 𝟎,总 存在一个正数𝜹,对于满足𝟎 < 𝒛 − 𝒛𝟎 < 𝜹 𝟎 < 𝜹 ≤ 𝝆 的一切𝒛
2.复变函数极限的几何意义 w f(z) X 0 Z→Z0 f(z)→A 说明：z以任意方式趋近于20，但不论怎样趋近， f(z)的值总趋近于A
2.复变函数极限的几何意义 𝑂 𝑥 𝑦 𝛿 𝑂 𝑢 𝑤 = 𝑓(𝑧) v 𝜀 说明：𝒛以任意方式趋近于𝒛𝟎,但不论怎样趋近， 𝒇(𝒛)的值总趋近于𝑨。 𝑧 → 𝑧0 𝑓(𝑧) → 𝐴
2.复变函数的极限的四则运算法测 设limf(z)=A,limg(z）=B, Z→Z0 Z→Z0 则lim[f(z)±g(z)]=A±B; →Z0 lim[f(z)g(z)]=AB; Z→Z0 f(z)A 0g(②=B(B≠0)， lim
2.复变函数的极限的四则运算法则 设𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒛𝟎 𝒇 𝒛 = 𝑨，𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒛𝟎 𝒈 𝒛 = 𝑩， 则𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒛𝟎 𝒇 𝒛 ± 𝒈 𝒛 = 𝑨 ± 𝑩; 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒛𝟎 [𝒇 𝒛 𝒈 𝒛 ] = 𝑨𝑩; 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒛𝟎 𝒇 𝒛 𝒈 𝒛 = 𝑨 𝑩 𝑩 ≠ 𝟎
举例 例1：求下列极限： (1)lim z2-1 z+1 (2)lim z4-1 z→i ziz2+1 解：原式= 2-1 (z2+10(z2-1) i+1 解：原式=lim z→i z2+1 (i+1)(i-1) (i+1) =lim(z2-1) 7→i =i-1 =2-1=-2 1.直接代入法 2.约分（因式分解）
举例 例1：求下列极限： (1) 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒊 𝒛 𝟐−𝟏 𝒛+𝟏 (2) 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒊 𝒛 𝟒−𝟏 𝒛 𝟐+𝟏 解： 原式= 𝒊 𝟐−𝟏 𝒊+𝟏 = (𝒊+𝟏)(𝒊−𝟏) (𝒊+𝟏) = 𝒊 − 𝟏 解： 原式= 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒊 (𝒛 𝟐+𝟏)(𝒛 𝟐−𝟏) 𝒛 𝟐+𝟏 = 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒊 (𝒛 𝟐−𝟏) = 𝒊 𝟐 − 𝟏 = −𝟐 1.直接代入法 2.约分（因式分解）
基础练习 (1)lim 1 z00z2+1 (2)lim z-i zi (z2+1)z 1 z-i 解： 原式=lim 201+ 1 解：原式=lim zi (z-i)(z+i)z 0 1 lim 1+0 z-→i(z+)z 。1 1 =0 (i+i)i -2 1 3.z→0∞台 ·→0 2约分（因式分解）
基础练习 (𝟏) 𝒍𝒊𝒎 𝒛→∞ 𝟏 𝒛 𝟐+𝟏 (𝟐) 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒊 𝒛−𝒊 (𝒛 𝟐+𝟏)𝒛 解： 原式= = 𝟎 𝟏+𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒛→∞ 𝟏 𝒛 𝟐 𝟏+ 𝟏 𝒛 𝟐 = 𝟎 解： 原式= 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒊 𝒛−𝒊 (𝒛−𝒊)(𝒛+𝒊)𝒛 = 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒊 𝟏 (𝒛+𝒊)𝒛 = 𝟏 𝒊+𝒊 𝒊 =− 𝟏 𝟐 𝟑. 𝒛 → ∞ ⇔ 𝟏 𝒛 → 𝟎 2.约分（因式分解）
定理1：设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=uo+ivo, 20=xo+iyo.则limf(z)=A的充要条件是： 7→Z0 ling u(x,y)=uo, %(x,y)=v0 y→y0 y→y0 说明：通常用于证明极限不存在的情况
定理1：设函数𝒇 𝒛 = 𝒖 𝒙, 𝒚 + 𝒊𝒗 𝒙, 𝒚 ,𝑨 = 𝒖𝟎 + 𝒊𝒗𝟎, 𝒛𝟎 = 𝒙𝟎 + 𝒊𝒚𝟎. 则 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝒛𝟎 𝒇 𝒛 = 𝑨的充要条件是： 𝒙 𝒍𝒊𝒎 →𝒙𝟎 𝒚→𝒚𝟎 𝒖 𝒙, 𝒚 = 𝒖𝟎， 𝒙 𝒍𝒊𝒎 →𝒙𝟎 𝒚→𝒚𝟎 𝒗 𝒙, 𝒚 = 𝒗𝟎 说明：通常用于证明极限不存在的情况
举例 例2：试证lim Rez不存在。 2→0z 证明： 设z=x+iy,Rez=x=x-y _x2-ixy x+iy x2+y2 x2+y2 lim Rez=lim x2-ixy 2→0 z x96,0x2+y2,x→0，y=kx(k≠0). lim Rez= lim x2-ikx2 1-ki Z→0Z (x,y)→(0,0)x2+(kx)2 =1+k2 z以任意方式趋近于0，当沿着射线y=kx方向时， k=1,g号k=2,受 5 由极限的唯一性，故：lim Re2不存在. Z→0Z
举例 例2：试证𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝟎 𝑹𝒆𝒛 𝒛 不存在。 证明： 设𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚， 𝑹𝒆𝒛 𝒛 = 𝒙 𝒙+𝒊𝒚 = 𝒙(𝒙−𝒊𝒚) 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟐−𝒊𝒙𝒚 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝟎 𝑹𝒆𝒛 𝒛 = 𝒍𝒊𝒎 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙 𝟐−𝒊𝒙𝒚 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 ，𝒙 → 𝟎, 𝒚 = 𝒌𝒙 𝒌 ≠ 𝟎 . 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝟎 𝑹𝒆𝒛 𝒛 = 𝒍𝒊𝒎 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙 𝟐−𝒊𝒌𝒙 𝟐 𝒙 𝟐+(𝒌𝒙) 𝟐 = 𝟏−𝒌𝒊 𝟏+𝒌𝟐 . 𝑧以任意方式趋近于𝟎,当沿着射线𝒚 = 𝒌𝒙方向时， 𝒌 = 𝟏, 𝑹𝒆𝒛 𝒛 → 𝟏−𝒊 𝟐 , 𝒌 = 𝟐，, 𝑹𝒆𝒛 𝒛 → 𝟏−𝟐𝒊 𝟓 ， 由极限的唯一性，故： 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝟎 𝑹𝒆𝒛 𝒛 不存在
基础练习 (3) 试证im不存在。 Z→0Z 证明： 设z=x+y,名==y==纱=2-2y+y x+iy x2+y2 x2+y2 lim2= lim x2-2ixy+y2 z→0z x6.0)2+y2x→0y=kx(k≠0). lim= lim x2-2ikx2+k2x2 =1-2ki+k2 2→0Z (x,y)→(0,0) x2+(kx)2 1+k2 z以任意方式趋近于0，当沿着射线y=kx方向时， k=1号1-ik=2, 5 由极限的唯一性，故：lim不存在. z→0Z
基础练习 （3）试证𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝟎 𝒛ത 𝒛 不存在。 证明： 设𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚， 𝒛ത 𝒛 = 𝒙−𝒊𝒚 𝒙+𝒊𝒚 = (𝒙−𝒊𝒚) 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟐−𝟐𝒊𝒙𝒚+𝒚 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝟎 𝒛ത 𝒛 = 𝒍𝒊𝒎 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙 𝟐−𝟐𝒊𝒙𝒚+𝒚 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 𝒙, → 𝟎, 𝒚 = 𝒌𝒙 𝒌 ≠ 𝟎 . 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝟎 𝒛ത 𝒛 = 𝒍𝒊𝒎 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙 𝟐−𝟐𝒊𝒌𝒙 𝟐+𝒌 𝟐𝒙 𝟐 𝒙 𝟐+(𝒌𝒙) 𝟐 = 𝟏−𝟐𝒌𝒊+𝒌 𝟐 𝟏+𝒌𝟐 . 𝑧以任意方式趋近于𝟎,当沿着射线𝒚 = 𝒌𝒙方向时， 𝒌 = 𝟏, 𝒛ത 𝒛 → 𝟏 − 𝒊, 𝒌 = 𝟐，, 𝒛ത 𝒛 → 𝟓−𝟒𝒊 𝟓 ， 由极限的唯一性，故： 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝟎 𝒛ത 𝒛 不存在