解析函数
解 析 函 数
第二讲 诬数解析的充要条件
第二讲 函数解析的充要条件
函数解析的充分必要条件 1.柯西一黎曼方程(C-R方程) 两个二元实函数：u=u(x,y),v=(x,y) 若有 =- 8v ay 称为柯西——黎曼方程
函数解析的充分必要条件 1.柯西——黎曼方程(C-R方程） 两个二元实函数：𝒖 = 𝒖 𝒙, 𝒚 , 𝒗 = (𝒙, 𝒚) 若有 称为柯西——黎曼方程。 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ， 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑥
2.函数解析的充要条件 定理1：若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy 处可导的充要条件是u(x,y),v(x,y)在(x,y)处可微， 而且满足C-R方程。此时f(z)可导，导数公式为： C-R方程只是f(z)可导的必要条件，如： u(x,y)=v(x.y)= x2+y2,x2+y2≠0 z=0处不可导， ,x2+y2=0 u_av f(z)=u+iv在z=0,满足 ==0器 0
2.函数解析的充要条件 而且满足C-R方程。此时𝑓 𝑧 可导，导数公式为： 定理1：若函数𝒇 𝒛 = 𝒖 𝒙, 𝒚 + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚)在𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 处可导的充要条件是𝒖 𝒙, 𝒚 ，𝒗(𝒙, 𝒚)在(𝒙, 𝒚)处可微, 𝒇 ′ 𝒛 = 𝝏𝒖 𝝏𝒙 + 𝒊 𝝏𝒗 𝝏𝒙 = 𝝏𝒖 𝝏𝒙 − 𝒊 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = 𝝏𝒗 𝝏𝒚 + 𝒊 𝝏𝒗 𝝏𝒙 = 𝝏𝒗 𝝏𝒚 − 𝒊 𝝏𝒖 𝝏𝒚 C-R方程只是𝑓 𝑧 可导的必要条件, 如： u 𝑥, 𝑦 = 𝑣 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 𝑥 2+𝑦2 , 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 0 0 , 𝑥 2 + 𝑦 2 = 0 ，𝑧 = 0处不可导. 𝒇 𝒛 = 𝒖 + 𝒊𝒗在𝒛 = 𝟎,满足 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0, 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =− 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 0
定理2：若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内 解析的充要条件是u(x,y),v(x,y)在D内处处可微， 而且满足C-R方程。 推论1：若u(x,y),v(x,y)的一阶偏导数在点(x,y)存在 而且连续，并满足C-R方程，则f(z)在点(x,y)可导. 推论2：若u(x,y),v(x,y)的一阶偏导数在区域D存在 而且连续，并满足C-R方程，则f(z)在区域D内解析
定理2：若函数𝒇 𝒛 = 𝒖 𝒙, 𝒚 + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚)在区域𝑫内 解析的充要条件是𝒖 𝒙, 𝒚 ，𝒗(𝒙, 𝒚)在D内处处可微， 而且满足C-R方程。 推论1:若𝒖 𝒙, 𝒚 , 𝒗(𝒙, 𝒚)的一阶偏导数在点(𝒙, 𝒚)存在 而且连续,并满足C-R方程,则𝒇(𝒛)在点(𝒙, 𝒚)可导. 推论2:若𝒖 𝒙, 𝒚 , 𝒗(𝒙, 𝒚)的一阶偏导数在区域𝑫存在 而且连续,并满足C-R方程,则𝒇(𝒛)在区域𝑫内解析
举例 例1：讨论下列函数的可导性与解析性： (1)f(z)=Im(z) 解：设z=x+iy,Im(z)=y. u(x,y)=y,v(x,y)=0 股=0,9=0，岁=1，-=0 故：f(z)在复平面上处处不可导，处处不解析
举例 例1：讨论下列函数的可导性与解析性: 1 𝑓 𝑧 = 𝐼𝑚(𝑧) 解：设 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦，𝐼𝑚(𝑧) = 𝑦 . 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 0, 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0, 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 1, 𝜕𝑣 𝜕𝑥 =0 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑦, 𝑣 𝑥, 𝑦 = 0 故:𝑓(𝑧)在复平面上处处不可导，处处不解析
举例 (2)f(z)=|z2z 解：设z=x+iy, f(z)=(x2+y2)x+i(x2+y2)y u(x,y)=x3+y2x,v(x,y)=x2y+y3 u=2xy,Ox 阳-3+y那-2+y的 00 =2xy 故：f(z)在(0,0)处可导，处处不解析
𝟐 𝒇 𝒛 = |𝒛| 𝟐𝒛 解：设 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦， 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 3𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑦 2 , 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 2𝑥𝑦, 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 2𝑥𝑦 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑦 2𝑥, 𝑣 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2𝑦+𝑦 3 故： 𝑓(𝑧) 在(0,0) 处可导，处处不解析。 𝑓 𝑧 = (𝑥 2+𝑦 2 )𝑥 + 𝑖 𝑥 2 + 𝑦 2 y 举例
举例 例2：证明：如果函数f(z)在区域D内解析且 满足下列条件之一，则f(z)在D内为常函数。 (1)f'(z)=0(2)Ref(z)=常数(3)f(z)1=常数 (F'a)=器+架=票-光=0 证： f'(a)= 业=u=业 au二0 故u,v是常数，从而f(z)在D内为常数. 2)因为u=常数，故张=器=0 由C-R条件可知f(z)=常数
举例 例2：证明：如果函数𝒇(𝒛)在区域𝑫内解析且 满足下列条件之一，则𝒇(𝒛)在𝑫内为常函数。 (1) 𝒇ˊ(𝒛) = 𝟎 (𝟐)𝑹𝒆𝒇(𝒛)=常数 (3)|𝒇(𝒛)| =常数 证： (1)𝑓 ′ 𝑧 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑖 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 − 𝑖 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 0 𝑓 ′ 𝑧 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 0 故𝒖, 𝒗是常数，从而𝒇(𝒛)在𝑫内为常数. 𝟐 因为𝒖 = 常数，故 𝝏𝒖 𝝏𝒙 = 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = 𝟎 由C-R条件可知𝒇 𝒛 = 常数
(3)川f(z)2=u2+v2=常数，分别对x,y求偏导 2u器+2器=0,2u+2n=0 由C-R条可知.u -v驰=0，u号 ,0u+ v=0 dy ay u ou =0,uv du uu- x dy +w dy v0=0,(u2+v2)"=0 uv-vv=0,uu+u=0,(u2+v2)0 ou du du =0 0x dy dy Ox 当u2+v2=0,u=v=0,故f(z)=0. 当u2+v2≠0，故=驰=0. ox dy u=常数，由(2)知f(z)在D内为常数
𝟑 |𝒇 𝒛 | 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 = 常数，分别对𝒙, 𝒚求偏导 𝟐𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒙 + 𝟐𝒗 𝝏𝒗 𝝏𝒙 = 𝟎，𝟐𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒚 + 𝟐𝒗 𝝏𝒗 𝝏𝒚 = 𝟎 由C-R条可知. 𝒖𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒙 − 𝒗𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = 𝟎，𝒖𝐯 𝝏𝒖 𝝏𝒚 + 𝒗𝒗 𝝏𝒖 𝝏𝒙 = 𝟎， 𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒙 − 𝒗 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = 𝟎，𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒚 + 𝒗 𝝏𝒖 𝝏𝒙 = 𝟎 (𝒖 𝟐+𝒗 𝟐 ) 𝝏𝒖 𝝏𝒙 = 𝟎 𝒖𝒗 𝝏𝒖 𝝏𝒙 − 𝒗𝒗 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = 𝟎，𝒖𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒚 + 𝒗𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒙 = 0，(𝒖 𝟐+𝒗 𝟐 ) 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = 𝟎 故 𝝏𝒖 𝝏𝒙 = 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = 𝟎. 𝒖 = 常数, 由 𝟐 知𝒇 𝒛 在𝑫内为常数。 当𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 = 𝟎, 𝒖 = 𝒗 = 𝟎,故𝒇 𝒛 = 𝟎. 当𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 ≠ 𝟎
基础练习 讨论下列函数的可导性与解析性： (1)f(z)=Re(z) (2)f(z)=zRe(z) 解：设z=x+iy, 解：设z=x+iy, f(2)=x f(z)=x(x+iy) av =0,ay Dv-0 ax =0, 0=2x器 au =0,0x 故：f(z)在复平面上处处不可导，故：f(z)在(0,0)处可导， 处处不解析。 处处不解析
基础练习 讨论下列函数的可导性与解析性: 𝟏 𝒇 𝒛 = 𝑹𝒆(𝒛) 𝟐 𝒇 𝒛 = 𝒛𝑹𝒆(𝒛) 解：设 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦， 𝑓(𝑧) = 𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 1, 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0, 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 0, 𝜕𝑣 𝜕𝑥 =0 故:𝑓(𝑧)在复平面上处处不可导， 处处不解析。 解：设 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦， 𝑓(𝑧) = 𝑥(𝑥 + 𝑖𝑦) 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 2𝑥, 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝑥, 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 0, 𝜕𝑣 𝜕𝑥 =y 处处不解析。 故:𝑓(𝑧)在(0,0) 处可导