复数的概念与计算
复数的概念与计算
第三讲 复数代数式的计算
第三讲 复数代数式的计算
复数的四则运算及其几何意义 1.复数的加（减）法 z1±z2=(x1±x2+y1±y2)i 加减法的几何意义 12 12 Z1一Z2 Z1 -Z2
1.复数的加(减)法 加减法的几何意义 O x y O y x −𝑧2 𝑧1 𝑧1 − 𝑧2 𝑧1 − 𝑧2 𝑧2 𝑧1 + 𝑧2 𝑧1 𝒛𝟏 ± 𝒛𝟐=(𝒙𝟏 ± 𝒙𝟐)+(𝒚𝟏 ± 𝒚𝟐)𝒊 𝑧2 𝑧2 复数的四则运算及其几何意义
1.1复数的运算律 Z1+Z2=Z2+Z1 (交换律) Z1+(22+Z3)=(z1+z2)+Z3 (结合律) 例1.计算(5-6i)+(-2-)-(3+4) 解： (5-6)+(-2-)-(3+4) =(5-2-3)+(-6i-i-4) =(0)+(-6-1-4)i =-11i
𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐 + 𝒛𝟏 （交换律） 𝒛𝟏 + (𝒛𝟐+𝒛𝟑) = (𝒛𝟏+𝒛𝟐) + 𝒛𝟑 （结合律） 例1. 计算(𝟓－𝟔𝒊)＋(－𝟐－𝒊)－(𝟑＋𝟒𝒊). 解: (𝟓－𝟔𝒊)＋(－𝟐－𝒊)－(𝟑＋𝟒𝒊) = (𝟓－𝟐 − 𝟑)＋(−𝟔𝒊 − 𝒊 − 𝟒𝒊) = (𝟎)＋ −𝟔 − 𝟏 − 𝟒 𝒊 = −𝟏𝟏𝒊 1.1复数的运算律
举例 计算（学+）-（受-）-（受-竖） 解（受+到-（竖-）-（受） (侣-受++（侵+受+ s2+3v2 十 2
例2. 计算 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝒊 − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝒊 − − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝒊 . 解: 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝒊 − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝒊 − − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝒊 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝒊 = 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 𝟐 𝒊 举例
基础练习 1.化简5i-(2+2i)的结果为（C) A.-2+7i B.-2-3i C.-2+3i D.3-2i 2.设z1=3-4i,Z2=-2+3i,则z1十22 在复平面内对应的点位于（D) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1. 化简𝟓𝒊－(𝟐＋𝟐𝒊)的结果为（ ） 𝑨. －𝟐＋𝟕𝒊 𝑩. －𝟐－𝟑𝒊 𝑪. －𝟐＋𝟑𝒊 𝑫. 𝟑－𝟐𝒊 𝑪 2. 设𝒛𝟏 ＝𝟑－𝟒𝒊，𝒛𝟐 ＝－𝟐＋𝟑𝒊，则𝒛𝟏＋𝒛𝟐 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 𝑫 基础练习
基础练习 3.设O是原点，向量0A、0B对应的向量 分别为2一3i,-3+2i,那么向量BA对应的 复数是(D)。 A.-5+5i B.-5-5i C.5+5i D.5-5i BA
3. 设O是原点，向量𝑶𝑨、𝑶𝑩对应的向量 分别为𝟐 − 𝟑𝒊, −𝟑 + 𝟐𝒊,那么向量𝑩𝑨对应的 复数是（ ）。 𝑨. －𝟓＋𝟓𝒊 𝑩.－𝟓－𝟓𝒊 𝑪. 𝟓＋𝟓𝒊 𝑫. 𝟓－𝟓𝒊 O y x 𝐴 𝐵𝐴 𝐵 𝑫 基础练习
举例 例3.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,yER) 且z1+z2=5-6i,求x,y,21-z2 解 根据复数相等的条件： 5-6i=x+3+2i-yi得 (5=x+3 -6=2-y 9y=8 z1=2+2i,z2=3-8i 21-z2=-1+10i
例3. 设 𝒛𝟏 ＝𝒙＋𝟐𝒊，𝒛𝟐 ＝𝟑－𝒚𝒊 (𝒙，𝒚 ∈ 𝑹) ， 且𝒛𝟏＋𝒛𝟐 ＝𝟓－𝟔𝒊，求𝒙, 𝒚,𝒛𝟏－𝒛𝟐 . 解: 根据复数相等的条件： 𝟓 − 𝟔𝒊 = 𝒙 + 𝟑 + 𝟐𝒊 − 𝒚𝒊 得 𝟓 = 𝒙 + 3 −𝟔 = 𝟐 − 𝒚 ⟹ 𝒙 = 𝟐 𝒚 = 𝟖 𝒛𝟏 ＝𝟐＋𝟐𝒊，𝒛𝟐 ＝𝟑－𝟖𝒊 𝒛𝟏－𝒛𝟐 ＝ − 𝟏 + 𝟏𝟎𝒊 举例
2.复数的乘法 z1·z2=(x1+y1)(x2+y2i) =(x1x2-y1y2)+(x2y1+x2y2)i 2.1复数的运算律 Z1·Z2=Z2·Z1 (交换律) (z1z2)·23=Z1·(Z2'Z3) (结合律) (z1+z2)·23=z1·Z3+22·Z3 (分配律)
𝑧1 ∙ 𝑧2=(𝑥1 + 𝑦1𝑖) (𝑥2 + 𝑦2𝑖) =(𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2) + (𝑥2𝑦1 + 𝑥2𝑦2)𝑖 𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐 ∙ 𝒛𝟏 （交换律） (𝒛𝟏∙ 𝒛𝟐) ∙ 𝒛𝟑 = 𝒛𝟏 ∙ (𝒛𝟐 ∙ 𝒛𝟑) （结合律） (𝒛𝟏+𝒛𝟐) ∙ 𝒛𝟑 = 𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟑 + 𝒛𝟐 ∙ 𝒛𝟑 （分配律） 2.复数的乘法 2.1复数的运算律
举例 例4：计算 (2)(3+)(1-2) (1)i(1+2) 解： (3+)(1-2) 解： i(1+2i) =3-6i+i-2i2 =i+22 =3+2-5i =i-2 =5-5i
例4：计算 𝟏 𝒊(𝟏＋𝟐𝒊) 解: 𝒊 𝟏＋𝟐𝒊 = 𝒊 +2𝑖 2 = 𝒊 −2 𝟐 (𝟑 + 𝒊)(𝟏 − 𝟐𝒊) 解: (𝟑 + 𝒊) 𝟏 − 𝟐𝒊 = 𝟑 − 𝟔𝒊 + 𝒊 −2𝑖 2 = 𝟑 + 2 − 5𝑖 = 𝟓 − 5𝑖 举例