复数的概念与计算
复数的概念与计算
第四讲 复数乘积与商
第四讲 复数乘积与商
复数的乘幂与方根 1.复数的乘积与商 定理1.1设z1=r1(c0s01+isin01),z2=r2(c0s02+isin02), 则(1)z1z2=r1r2[c0s(01+02)+isin(01+02]; 证明：z1z2=r1(c0s01+isin01)r2(c0s02+isin02) =rir2(cos01+isin01)(cos02 isin02) rir2(Cos01COS02-sinesin02+i(cos01sin02+sine1Cos02)) =r1r2[c0s(01+02)+isin(01+02)]
1.复数的乘积与商 定理1.1 设𝒛𝟏 = 𝒓𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏 , 𝒛𝟐 = 𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 , 则 𝟏 𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒓𝟏𝒓𝟐[𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏+𝜽𝟐) + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 ]; 证明: 𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒓𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏 𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 = 𝒓𝟏𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 = 𝒓𝟏𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 − 𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 + 𝒊(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐) = 𝒓𝟏𝒓𝟐[𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏 + 𝜽𝟐) + 𝒊𝒔𝒊𝒏(𝜽𝟏 + 𝜽𝟐)] 复数的乘幂与方根
则(2) z21 [cos(01-02)+isin(01-02小. 2 证明： Z1_r1(cos01+isin01) Z2 r2 (cos02 isine2) r1(cos01+isin01)(cos02-isin02) r2 (cos02 isine2)(cos02-isin02) _ri(cos01c0s02+sineisin02+i(sinecos02-cos01sin02)) r2(c0s202+sin282) [cos(01-02)+isin(01-02)】:
𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝒓𝟏 𝒓𝟐 则(2) [𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏−𝜽𝟐) + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 ]. 证明: 𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝒓𝟏(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏) 𝒓𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐) = 𝒓𝟏(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏)(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 − 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐) 𝒓𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐) (𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 − 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐) = 𝒓𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 + 𝒊(𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐) 𝒓𝟐 (𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽𝟐 + 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽𝟐) = 𝒓𝟏 𝒓𝟐 [𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏−𝜽𝟐) + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 ]
2.复数乘法的几何意义下 y Z122 将向量z2旋转角度01=argz1后， riT2 再将它的长度伸缩T1=|z1倍，所 01+02 8122 得即为向量z122。 2 -21 01 0 特别地，当z1=1时，向量z1z2就是将向量z2旋转角 度01=argz1所得的向量。 Arg212=01+02,Ar9261-62
2.复数乘法的几何意义 x y O 𝑧1 𝜃1 𝜃2 𝑧2 将向量𝒛𝟐 旋转角度𝜽𝟏 = 𝒂𝒓𝒈𝒛𝟏 后， 再将它的长度伸缩 𝒓𝟏 = |𝒛𝟏| 倍,所 得即为向量𝒛𝟏𝒛𝟐 。 特别地，当 |𝒛𝟏|=1时，向量 𝒛𝟏𝒛𝟐就是将向量 𝒛𝟐 旋转角 度𝜽𝟏 = 𝒂𝒓𝒈𝒛𝟏所得的向量。 𝜃1 𝜃1+𝜃2 𝑧1𝑧2 𝑟1𝑟2 𝑨𝒓𝒈𝒛𝟏𝒛𝟐=𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 , 𝑨𝒓𝒈 𝒛𝟏 𝒛𝟐 =𝜽𝟏 − 𝜽𝟐
举例 例1：已知z1=2(cosπ+isinn),z2=4(cos好+isin),求z1z2: 解：21z2=r1rz[c0s(01+02)+isin(01+02; =2×4cos(r+界+istn(m+界 =8lcos(0+ism(5☒ 5π =8(-竖-i=-4V2-i42
例1: 已知𝒛𝟏 = 𝟐 cos𝝅 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝝅 , 𝒛𝟐 = 𝟒 cos 𝝅 𝟒 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 ,求 𝒛𝟏𝒛𝟐. 解: = 𝟐 × 𝟒[𝒄𝒐𝒔(𝝅 + 𝝅 𝟒 ) + 𝒊𝒔𝒊𝒏(𝝅 + 𝝅 𝟒 ) 举例 𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒓𝟏𝒓𝟐[𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏+𝜽𝟐) + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 ]; = 𝟖[𝒄𝒐𝒔( 𝟓𝝅 𝟒 ) + 𝒊𝒔𝒊𝒏( 𝟓𝝅 𝟒 ) = 𝟖(− 𝟐 𝟐 − 𝒊 𝟐 𝟐 )=−4 2 − 𝑖4 2
举例 例2：z1=2(cosπ+isinn),z2=4(cos年+isin到)求2号· 解： Z4=2[cos(01-02)+isin(01-02】 Z2 T2 eosm-孕+sm(r-】 2 1cos(孕+sm(3》 = =(竖+》-空
例2: 𝒛𝟏 = 𝟐 cos𝝅 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝝅 , 𝒛𝟐 = 𝟒 cos 𝝅 𝟒 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 ,求 𝒛𝟏 𝒛𝟐 . 解: 举例 𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝒓𝟏 𝒓𝟐 [𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏−𝜽𝟐) + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 ]. = 𝟐 𝟒 [𝒄𝒐𝒔(𝝅 − 𝝅 𝟒 ) + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝝅 − 𝝅 𝟒 ] = 𝟏 𝟐 [𝒄𝒐𝒔( 𝟑𝝅 𝟒 ) + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 𝟒 ] = 𝟏 𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝒊 𝟐 𝟐 = − 𝟐 𝟒 + 𝒊 𝟐 𝟒
基础练习 1.利用复数的三角形式计算下列各式的值。 (1)(1+)(1-) 解： (1+i)=V2(cosF+isim孕 (1-)=v2[cos(-翠)+isim(-翠l (1+i)(1-i)=2(c0s0+isin0) =2
基础练习 1. 利用复数的三角形式计算下列各式的值。 （1） （1 + 𝑖)(1 − 𝑖） 解: （1 + 𝑖)= 2(𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 ) （1 − 𝑖)= 2[cos − 𝜋 4 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 − 𝜋 4 ] 1 + 𝑖 1 − 𝑖 = 2(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑖𝑛0) = 2
基础练习 (2) -2+3i 3+2i 解 (-2+3i)=V13(cos01+isin01) 0=x +arctan(3)=x-arctan (3+2i)=54 1 π arctanx arctan-= 02=àr =2 π-arctan}-arctan=元-音 π2 =cos+isn号=i 3+2i
（2） −2+3𝑖 3+2𝑖 基础练习 解: （3 + 2𝑖)= 13(𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃2) 𝜃1=𝜋 +arctan( 3 −2 )=𝜋 − arctan 3 2 （ − 2 + 3𝑖)= 13(𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃1) 𝜃2=arctan(2 3 )= arctan 2 3 𝜋 − arctan 3 2 − arctan 2 3 =𝜋 − 𝜋 2 = 𝜋 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 1 𝑥 = 𝜋 2 −2+3𝑖 3+2𝑖 =cos 𝜋 2 +𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 = 𝑖
课堂小结 复数的三角 Z1z2=r1r2[cos(01+02)+isin(01+02) 形式的乘积 复数的乘积 与商的运算 复数的三角 形式的商 召=2[cos(01-02)+isim(01-6z】 z2 r2