留数及其应用
留数及其应用
第五讲 留数的应用
第五讲 留数的应用
留数及其应用 1.留数定理 定理2：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1,z2,2n外处处解析，C是D内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线，则 D ∮cfad n =2πi Res [f(z),zk] C
留数及其应用 1.留数定理 定理2：设函数𝒇(𝒛)在区域𝑫内除有限个孤立奇点 𝒛𝟏,𝒛𝟐, . , 𝒛𝒏外处处解析，𝑪是𝑫内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线，则 ර 𝐶 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 𝟐𝝅𝒊 𝒌=𝟏 𝒏 𝑹𝒆𝒔 [𝒇(𝒛), 𝒛𝒌] D z1 z z 2 3 zn C1 C2 C3 Cn C
2.留数的应用： 例1：计算积分∮4-22品z. 5z-2 解：·z=0是f(z)的一阶极点， Res(f().0)-2 5z-2 :z=1是f(z)的二阶极点， Res((z.)1)=2=m(5-=2 2高1 A1=2ze-1zdz=2πi(-2+2)=0 5z-2
2.留数的应用： 例1：计算积分ׯ| 𝒛| = 𝟐 𝟓𝒛−𝟐 𝒛(𝒛−𝟏) 𝟐dz. 解： ∵ z = 0是𝑓 𝑧 的一阶极点， 𝑹𝒆𝒔 𝒇 𝒛 , 𝟎 = ฬ 𝟓𝒛−𝟐 (𝒛−𝟏) 𝟐+𝟐𝒛(𝒛−𝟏) 𝒛=𝟎 = −𝟐 ∵ z = 1是𝑓 𝑧 的二阶极点， 𝑹𝒆𝒔 𝒇(𝒛), 𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟏 𝒅 𝒅𝒛 𝟓𝒛−𝟐 𝒛 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟏 (𝟓 − 𝟐 𝒛 )′ = 𝟐 | ׯ 𝒛| = 𝟐 𝟓𝒛−𝟐 𝒛(𝒛−𝟏) 𝟐 𝒅𝒛=2𝝅𝒊 −𝟐 + 𝟐 = 𝟎
例2：计算积分∮4=2 G-Ddz. sin2z 举例 解：·z=1是f(z)的一阶极点， Res0fa,1）=41 sin2z sin21 'z=0是f(z)的可去极点， sin-z Res(f(z),0)=lim =0 0(2-1)z dz 2nl(sin)=2misin2
举例 例2：计算积分ׯ| 𝒛| = 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒛 𝒛−𝟏 𝒛 𝟐 𝒅𝒛. 解： ∵ 𝒛 = 𝟏是𝒇 𝒛 的一阶极点， 𝑹𝒆𝒔 𝒇 𝒛 , 𝟏 = ฬ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒛 𝒛 𝟐+𝟐𝒛(𝒛−𝟏) 𝒛=𝟏 = 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟏 ∵ 𝒛 = 𝟎是𝒇 𝒛 的可去极点， 𝑹𝒆𝒔 𝒇(𝒛), 𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟎 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒛 𝒛 − 𝟏 𝒛 = 𝟎 |ׯ 𝒛| = 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒛 𝒛−𝟏 𝒛 𝟐 𝒅𝒛 =2𝝅𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟏 + 𝟎 = 𝟐𝝅𝒊𝒔𝒊𝒏𝟐𝟏
举例 例3：已知F(s)-6-2s-求ResLF(5)e*,l. 1 S1=1,S2=2. 解：S1=1是F(s)est的二阶极点， Res[F()e,=2-r[器] test (s-2)e=-tet et lim 5→1 (S-2)2 S2=2是F(s)est的一阶极点， est Res[F(s)est,2]=lim (s-1)z s-→2(S-2) e2t
例3：已知F(s）= 𝟏 (𝒔−𝟐)(𝒔−𝟏) 𝟐 ,求𝑹𝒆𝒔[𝑭(𝒔)𝒆 𝒔𝒕 ,𝒔𝒌], 𝑹𝒆𝒔[𝑭(𝒔)𝒆 𝒔𝒕 ,𝟏]= 𝑹𝒆𝒔[𝑭(𝒔)𝒆 𝒔𝒕 ,𝟐]= 𝒔𝟏 = 𝟏是𝑭 𝒔 𝒆 𝒔𝒕的二阶极点， 𝒔𝟐 = 𝟐是𝑭 𝒔 𝒆 𝒔𝒕的一阶极点， 𝟏 𝟐−𝟏 ！ 𝐥𝐢𝐦 𝒔→𝟏 𝒅 𝒅𝒔 𝒆 𝒔𝒕 𝒔−𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 𝒔→𝟏 𝒕𝒆 𝒔𝒕 𝒔−𝟐 −𝒆 𝒔𝒕 (𝒔−𝟐) 𝟐 = −𝒕𝒆 𝒕 − 𝒆 𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒔→𝟐 𝒆 𝒔𝒕 (𝒔 − 𝟏) 𝟐 (𝒔 − 𝟐)′ = 𝒆 𝟐𝒕 𝒔𝟏 = 𝟏, 𝒔𝟐 = 𝟐. 举例 解：
举例 例4：已知FS8号，求ResF()esl S1=-1,S2=-3. 解：S1=-1是F(s)est一阶极点， est（2s2+3s+3) Res[F(s)est,-1]=lim- (6+3)3 re-t (s+1) S2=-3是F(S)est的三阶极点， ResF()e,31=a.rim器引e [est(2s2+3s+3) S+1 ilim 25→-3 -122+6-0e=(-4t2+t-3e3 2
例4：已知𝑭(𝒔)= 𝟐𝒔 𝟐+𝟑𝒔+𝟑 (𝒔+𝟏)(𝒔+𝟑) 𝟑 ,求𝑹𝒆𝒔[𝑭(𝒔)𝒆 𝒔𝒕 ,𝒔𝒌], 𝒔𝟏 = −𝟏, 𝒔𝟐 = −𝟑. 𝑹𝒆𝒔[𝑭(𝒔)𝒆 𝒔𝒕 ,−𝟏]= 𝑹𝒆𝒔[𝑭(𝒔)𝒆 𝒔𝒕 ,−𝟑]= 𝒔𝟏 = −𝟏是𝑭 𝒔 𝒆 𝒔𝒕一阶极点， 𝒔𝟐 = −𝟑是𝑭 𝒔 𝒆 𝒔𝒕的三阶极点， 𝟏 𝟑−𝟏 ！ 𝐥𝐢𝐦 𝒔→−𝟑 𝒅 𝟐 𝒅𝒔 𝟐 𝒆 𝒔𝒕(𝟐𝒔 𝟐+𝟑𝒔+𝟑) 𝒔+𝟏 = 𝟏 𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒔→−𝟑 （−𝟏𝟐𝒕 𝟐+𝟔𝒕−𝟏）𝒆 −𝟑𝒕 𝟐 = (−𝟒𝒕 𝟐 + 𝟑 𝟐 𝒕 − 𝟏 𝟒 )𝒆 −𝟑𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒔→𝟐 𝒆 𝒔𝒕（𝟐𝒔 𝟐+𝟑𝒔+𝟑） (𝒔+𝟑) 𝟑 (𝒔+𝟏)′ = 𝟏 𝟒 𝒆 −𝒕 举例 解：
柜3.Geogebra软件求留数 Geogebra程序：左边为代数区输入 2x2+3x+3 ety 默认为f(x,y) (x+1) 导数(f,x,2) 默认为a(x,y) a(-3,t) 默认为g(t) 实数域因式分解(g） 因式分解(g) 三种方法都可 factor(g)
3.Geogebra软件求留数 Geogebra程序：左边为代数区输入 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟑 (𝒙 + 𝟏) 𝒆 𝒙𝒚 导数（𝒇, 𝒙, 𝟐） 𝒂(−𝟑, 𝒕) 实数域因式分解(g) 默认为𝒇(𝒙, 𝒚) 默认为g(t) 默认为𝒂(𝒙, 𝒚) 因式分解(g) 三种方法都可 factor(g)
举例 例3：求f(2)=1在z=kπ(k≠0)的留数。 zsinz 解：z=kπ(k≠0)是函数f(z)的一阶极点 Res(品k)=0
举例 例3：求𝒇 𝐳 = 𝟏 𝒛𝒔𝒊𝒏𝒛在𝒛 = 𝒌𝝅(𝒌 ≠ 𝟎)的留数。 解： 𝒛 = 𝒌𝝅(𝒌 ≠ 𝟎)是函数𝒇(𝒛)的一阶极点， 𝑹𝒆𝒔 𝟏 𝒛𝒔𝒊𝒏𝒛 , 𝒌𝝅 = ቚ 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒛+𝒛𝒄𝒐𝒔𝒛 𝒛=𝒌𝝅 = (−𝟏) 𝒌 𝒌𝝅 (𝒌 ≠ 𝟎)
举例 求(@)=2-+在z=2处的留数。 27 解：z=2是f(z)一阶极点， 2 Res[f(z),2]=lim (z2+3)Z 128 →2 (z-2)1 49
举例 求𝐟 𝐳 = 𝒛 𝟕 (𝒛−𝟐)(𝒛 𝟐+𝟏) 𝟐 在𝒛 = 𝟐处的留数。 𝑹𝒆𝒔[𝒇(𝒛),𝟐]= z = 2是f 𝒛 一阶极点， 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟐 𝒛 𝟕 (𝒛 𝟐 + 𝟑) 𝟐 (𝒛 − 𝟐)′ = 𝟏𝟐𝟖 𝟒𝟗 解：