拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
第八讲 拉普拉斯变换的应用
第八讲 拉普拉斯变换的应用
1.拉普拉斯变换的应用 1、基本公式： I.I(t)函数 设I(s)=c[i(t)],则有c[i'(t)]=sI(s-i(0) c[i'"(t)]=s2I(s)-si(0)-i'(0) C[t"(t)]=s3I(s)-s2i(0)-si'(0)-i"'(0)
1.拉普拉斯变换的应用 1、基本公式： Ⅰ. 𝑰 𝒕 函数 设𝑰(𝒔)=𝓛 𝒊 𝒕 ，则有 𝓛 𝒊′ 𝒕 =𝐬𝑰 𝐬 − 𝒊 𝟎 . 𝓛 𝒊′′ 𝒕 =𝐬 𝟐 𝑰 𝐬 − 𝒔𝒊 𝟎 − 𝒊′(𝟎). 𝓛 𝒊′′′ 𝒕 =𝐬 𝟑 𝑰 𝐬 − 𝐬 𝟐 𝒊 𝟎 − 𝐬𝒊 ′ 𝟎 − 𝒊′′(𝟎)
立.U(t)函数 设U(s)=C[u(t)],则有c[u'(t)]=sU(s)-u(0) c[u"(t)]=s2U(s)-su(0)-'(0) c[u"(t)]=s3U(s)-s2u(0)-s'(0)-u'(0) C[u4(t)]=s4U(s)-s3u(0)-s2u'(0)-s"'(0)-"(0)
Ⅱ. 𝑼 𝒕 函数 设𝑼(𝒔)=𝓛 𝒖 𝒕 ，则有 𝓛 𝒖′ 𝒕 =𝐬𝑼 𝐬 − 𝒖 𝟎 . 𝓛 𝒖′′ 𝒕 =𝐬 𝟐𝑼 𝐬 − 𝒔𝒖 𝟎 − 𝒖′(𝟎). 𝓛 𝒖′′′ 𝒕 =𝐬 𝟑𝑼 𝐬 − 𝐬 𝟐𝒖 𝟎 − 𝐬𝒖 ′ 𝟎 − 𝒖′′(𝟎). 𝓛 𝒖 (𝟒) 𝒕 =𝐬 𝟒𝑼 𝐬 − 𝐬 𝟑𝒖 𝟎 − 𝒔 𝟐𝒖 ′ 𝟎 − 𝒔𝒖 ′′ 𝟎 − 𝒖′′′(𝟎)
举例 例1.已知F(s)= 6+0s+3求f(@)=E-1[F(s. 2s2+33+3 252+35+3 解： 软件实现1 (5+1)(s+3 2s2+3s+3 (s+1)(s+3) Geogebra软件运算区输入： 部分分式($1) s+16+3)+6+3)-s+3 partialfractions:部分分式 inverselaplace($1) 3 et+-12+6t-1。 1 4 1 6 3 1 F(s)=45+五s+3+2(+3)-4s+3 f=4et-3e3+2te- 1 3 Te-3t
举例 例1.已知𝑭(𝒔) = 𝟐𝒔 𝟐+𝟑𝒔+𝟑 (𝒔+𝟏)(𝒔+𝟑) 𝟑 ,求𝒇 𝒕 = 𝓛 −𝟏 𝑭 𝒔 . 解: 软件实现1 𝑮𝒆𝒐𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂软件运算区输入： 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒂𝒍𝒇𝒓𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔：部分分式 𝑭(𝒔) = 𝟏 𝟒(𝒔 + 𝟏) − 𝟔 (𝒔 + 𝟑) 𝟑 + 𝟑 𝟐(𝒔 + 𝟑) 𝟐 − 𝟏 𝟒(𝒔 + 𝟑) 𝒇(𝒕) = 𝟏 𝟒 𝒆 −𝒕 − 𝟑𝒕 𝟐𝒆 −𝟑𝒕 + 𝟑 𝟐 𝒕𝒆 −𝟑𝒕 − 𝟏 𝟒 𝒆 −𝟑𝒕
2s2+35+3 软件实现2 (5+1)(5+3) (2g2+3s+3列 est 4 (s+3)3(s+1) Geogebra软件运算 51(5+1) limit:极郧 -(s+1)(2s2+3s+3) est (5+3)3(s+1) derivative, 极限(2,5，-1) 运行结果为 $1(5+3)3 Res[F(s)est,-1] -2+3s+ 导数(54,5,2) 3t2 est +8st est+9s t2 est +12s2 t est +11 s2 t2 est +4s3t est +7s3 t2 est +2s4 t2et +4 est Res[F(s)est,-3] 53+3s2+35+1 极限(55，s,-3) 2 te3-3te3-1 原方程的解为f(=et-3t2e-3t+2t e-3t te-3t_
𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒕𝒊𝒗𝒆：导数 = 𝟏 𝟒 𝒆 −𝒕 原方程的解为𝒇 𝒕 = 𝟏 𝟒 𝒆 −𝒕 − 𝟑𝒕 𝟐𝒆 −𝟑𝒕 + 𝟑 𝟐 𝒕𝒆 −𝟑𝒕 − 𝟏 𝟒 𝒆 −𝟑𝒕 软件实现2 𝑮𝒆𝒐𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂软件运算区输入： 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕：极限 运行结果为： 𝑹𝒆𝒔[𝑭(𝒔)𝒆 𝒔𝒕 ，−1] = 𝑹𝒆𝒔[𝑭(𝒔)𝒆 𝒔𝒕 ，−𝟑] = 𝒍𝒊𝒎 𝒔→−𝟏 (𝟐𝒔 𝟐+𝟑𝒔+𝟑)𝒆 𝒔𝒕 (𝒔+𝟑) 𝟑 𝟏 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒔→−𝟑 [ (𝟐𝒔 𝟐+𝟑𝒔+𝟑)𝒆 𝒔𝒕 𝒔+𝟏 ]′′ = −𝟑𝒕 𝟐𝒆 −𝟑𝒕 + 𝟑 𝟐 𝒕𝒆 −𝟑𝒕 − 𝟏 𝟒 𝒆 −𝟑𝒕
举例 例2.设如图所示R一L串联电路，在t=0时接 到电动势E上，求电流(). 解： 由基尔霍夫定律可知 E=R(+L9,i(0)=0 设I(s)=C[i(t)],则有 C[i'(t)]=sI(s)-i(0)=sI(s) 方程变为 RI(s)+Lsl(s) E E 解得 I(S)= s(R+Ls)
举例 例2.设如图所示𝑹 − 𝑳串联电路，在𝒕 = 𝟎时接 到电动势𝑬上，求电流𝒊(t). 解: 由基尔霍夫定律可知 𝑬 = 𝑹𝒊 𝒕 + 𝑳 𝒅𝒊(𝒕) 𝒅𝒕 ,𝒊 𝟎 = 𝟎 设𝑰(𝒔)=𝓛 𝒊 𝒕 ，则有 𝓛 𝒊′ 𝒕 =𝐬𝑰 𝐬 − 𝒊 𝟎 = 𝐬𝑰 𝐬 方程变为 𝑬 𝒔 = 𝑹𝑰 s + 𝑳𝐬𝑰 𝐬 𝑰 𝐬 = 𝑬 𝒔(𝑅 + 𝐿𝑠) 解得
软件实现 s(R+Ls) E Geogebra软件运算区输入： Ls2+Rs 必须把s换成t 拉普拉斯逆变换($1，s) 2-(食 电流10=片e
软件实现 𝑮𝒆𝒐𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂软件运算区输入： 电流𝒊(t) = 𝑬 𝑹 − 𝑬 𝑹 e − 𝑹 𝑳 𝒕 . 必须把𝒔换成𝒕
基础练习 1如图所示电路中，已充电的电容经过电阻接到直流 电压源U、。电容原有电压c(0)=U0开关闭合，把开关闭合时刻 取为(t=0)求开关闭合后(t>0)时uc· s(t=0) 解：根据k(基尔霍夫电压定律)得： uR uc Us 4R=Ri=C警（电容充电竖之叭 代入方程得：RC警+山c=Ug,u:(O)=U0 设c[ul=U(s.则c0=sU(s)-Uo:
基础练习 1.如图所示电路中，已充电的电容经过电阻接到直流 电压源𝑼𝒔。电容原有电压𝒖𝒄(𝟎) = 𝑼𝟎.开关闭合，把开关闭合时刻 取为（𝒕 = 𝟎),求开关闭合后(𝒕 > 𝟎)时𝒖𝒄 . 解：根据kvl(基尔霍夫电压定律)得： 𝒖𝑹 + 𝒖𝑪 = 𝑼𝒔 𝒖𝑹 = 𝑹𝒊, 𝒊 = 𝑪 𝒅𝒖𝑪 𝒅𝒕 (电容充电𝒅𝒖𝑪 𝒅𝒕 ≥ 𝟎). 代入方程得：𝑹𝑪 𝒅𝒖𝑪 𝒅𝒕 + 𝒖𝑪 = 𝑼𝒔， 𝒖𝒄(𝟎) = 𝑼𝟎 设𝓛 𝒖𝑪 = 𝑼(𝒔),则 𝓛 𝒅𝒖𝑪 𝒅𝒕 = 𝒔𝑼 𝒔 − 𝑼𝟎
对方程两边同取拉普拉斯变换得：RC(sU(s)-Vo)+U(S)= 整理得：U(S)= 1 +RCUo) 软件实现1 1 RCs+1 +RCUo Geogebra软件运算区输入： CR Uo+Us 5 CRs+1 拉普拉斯逆变换($1，s) 2 Us-CRUo+CRUs e-chs CR uc=Us+(Uo-Us)e元
对方程两边同取拉普拉斯变换得:𝑹𝑪(𝒔𝑼 𝒔 − 𝑼𝟎) + 𝑼(𝒔) = 𝑼𝒔 𝒔 整理得：𝐔 𝒔 = 𝟏 (𝑹𝑪𝒔+𝟏) ∙ ( 𝑼𝒔 𝒔 + 𝑹𝑪𝑼𝟎) 𝒖𝑪 = 𝑼𝒔 + (𝑼𝟎 − 𝑼𝒔)𝒆 − 𝒕 𝑹𝑪. 软件实现1 𝑮𝒆𝒐𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂软件运算区输入：