第一章习题课 线性代教
第一章 习题课
全排列 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元 素的全排列（或排列) n个不同的元素的所有排列的种数用P,表示， 且Pn=n
把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元 素的全排列（或排列）． n n 个不同的元素的所有排列的种数用 表示， 且 ． n P n P n! n = １ 全排列
2 逆序数 在一个排列(i2.i.i,.in中，若数i,>i, 则称这两个数组成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列． 在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序． ( ) t s n i i i i i 1 2 t s i i 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数． ２ 逆序数
3 计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在1,2，.，n-1,n前面比它大的 数码之和，即分别算出1,2，.，n-1,n这n个元素 的逆序数，这个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数. 方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数． 方法2 方法1 分别计算出排在 前面比它大的 数码之和，即分别算出 这 个元素 的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数． 1,2, ,n −1,n 1,2, ,n −1,n n n ３ 计算排列逆序数的方法
4对换 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元 素不动，称为一次对换.将相邻两个元素对调， 叫做相邻对换. 定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元 素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调， 叫做相邻对换． 定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性． 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数． ４ 对 换
5n阶行列式的定义 D 02 =,三（10nan.am 其中p1p2.pn为自然数1,2，n的一个排列为这 个排列的逆序数∑表示对1,2，.，n的所有排 P1P2.Pn 列取和
( ) p p p n p p n pn t n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = = − 1 ５ n阶行列式的定义 . ; 1,2, , 1,2, , ; 1 2 1 2 列取和 个排列的逆序数 表示对 的所有排 其 中 为自然数 的一个排列 为 这 n p p p n t p p p n n
n阶行列式D亦可定义为 D=∑(-l)'ap1ap2.apn, P1P2.pm 其中为行标排列p1p2.pn的逆序数
. ( 1) , 1 2 1 2 1 2 1 2 其 中 为行标排列 的逆序数 阶行列式 亦可定义为 t p p p D a a a n D n p p p n p p p t n n = −
6n阶行列式的性质 1)行列式与它的转置行列试相等，即D=DT. 2)互换行列式的两行列，行列式变号 3)如果行列式有两行列完全相同，则此行列式 等于零 4)行列式的某一行列中所有的元素都乘以同 一数k,等于用数k乘此行列式
, . 4) ( ) . 3) ( ) , 2) ( ), . 1) , D D . T 一 数 等于用数 乘此行列式 行列式的某一行列 中所有的元素都乘以同 等于零 如果行列式有两行列 完全相同 则此行列式 互换行列式的两行列 行列式变号 行列式与它的转置行列式相等 即 k k = ６ n阶行列式的性质
5)行列式中某一行（列的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面 6)行列式中如果有两行（列元素成比例则此行列 式为零 7)若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和则 此行列式等于两个行列此之和 8)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然 后加到另一列（行）对应的元素上去行列式的值不变
( ) , . 8) ( ) , . 7) ( ) , . 6) ( ) , . 5) ( ) 后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式的值不变 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然 此行列式等于两个行列式之和 若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和则 式为零 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列 提到行列式符号的外面 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以
7行列式按行（列）展开 1)余子式与代数余子式 在n阶行列式中，把元素所在的第行和第 j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素) 的余子式，记作M:记 A=(（-1)+M, A叫做元素a;的代数余子式
１）余子式与代数余子式 . ( 1) , 1 叫做元素 的代数余子式 的余子式，记作 ； 记 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 A a A M M j n a n a i ij ij ij i j ij ij ij ij = − − + ７ 行列式按行（列）展开