第五节二次型及其标准形 线性代教
第五节 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形的概念 定义1 含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数 f(x1,x2,n)=1x子+a2号++amx7 +20121X2+2013X1X3+.+20m-l,mXn-1xm 称为二次型 当是复数时，称为复二次型； 当a,是实数时，称为实二次型
一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型 称为二次型
只含有平方项的二次型 f=ky+ky+kny 称为二次型的标准形（或法式） 例如 f(x1,x2,x3)=2x+4x号+5x3-4xx f(K1,x2,x3)=x12+x3+x2x3 都为二次型； f(,2,x3)=x+4x3+4x号 为标准形的二次型
只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为标准形的二次型. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x
二次型的表示方法 1.用和号表示对二次型 f(x1,x2,xn)=411x2+a2x号+.+amx +2a12S&2+2413X1x3+.+20-LnXm 取an=,则2a写xxj=xx+aj,于是 f=41x+412x1x2+.+41nx +421X2X1+422X2+.+2nx2xn 十. +1ny1+a2xx2+.+anx好 411+a2x2++amx )=∑ aijxixj i,j=1
1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j = ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二、二次型的表示方法 ai1 xi x1 + ai2 xi x2 ++ ai nxi xn i = 1 n = ( )
2.用矩阵表示 f=42+42X飞2+.+1m51飞 +21飞2x1+2x号+.+42n3x 十. +nnS+0n2xnS2+.+amx子 =1(11X1+412X2+.+41mXn) +x2(☑21+22X2+.+2mXn) 十 xn(anx+an2x2++annxn) 11X1+122+.+41mXn 21x+a22x2++2nxn =（X1,x2,3Xn) anlX1+Ln2x2+.+AnnXn
2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) = x1 a1 1 x1 + a1 2 x2 ++ a1n xn ( ) + x2 a2 1 x1 + a2 2 x2 ++ a2n xn + + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , ) ( ) + xn an1 x1 + an2 x2 ++ ann xn
1 2 =（x1,2,xn L21 L22 x2 : Qn2 1 2 (看内4第一题第五小题) 记 L21 L22 A= A2n X2 x= 则二次型可记作f=xTAx,其中A为对称矩阵
则二次型可记作 f x Ax,其中A为对称矩阵. T = , , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = = n n nn n n n x x x x a a a a a a a a a A 记 ( ) = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , , , （看P54第一题第五小题）
三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型.这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系. 对称矩阵4叫做二次型f的矩阵； f叫做对称矩阵A的二次型 对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩
三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩
例1写出二次型 f=x+2x号-3x3+4x1x2-6x2x3 的矩阵。 41=1,42=2,43=-3， 解 42=021=2,43=431=0, 2 023=032=-3. 0-3 3 12 0 .A= 2 2 -3 另一方法 0 -3 -3
解 a 1, a 2, a 3, 11 = 22 = 33 = − a a 2, 12 = 21 = a a 0, 13 = 31 = a a 3. 23 = 32 = − . 0 3 3 2 2 3 1 2 0 − − A = − . 2 3 4 6 1 2 2 3 23 22 21 的矩阵 写出二次型 f = x + x − x + x x − x x 例１ x 1 x 1 x 2 x 3 2 xx 3 1 2 0 20 2 −3 −3 −3 另一方法
四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形 设 x1=c1y1+C12V2+.+cinyn2 x2 =C211+C222+.+c2nyn2 Xn CnIy1+cn2y2+.+cmnyn 记C=(c),则上述可逆线性变换可记作 x=Cy 将其代f=TAr
= + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , 设 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换， C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy 将二次型化为标准形． f x Ax T 将其代入 =
将其代入f=x'Ax,有 f=xx=(A(C)=yCTAC=CAC) 定义9 设A与B是n阶矩阵若有可逆矩阵C,使 B=CTAC 则称矩阵4与B合同。 结论如果A为对称矩阵为可逆矩阵令B=CTAC, 则B也为对称矩阵且R(B)=R(A) 因为BT=(CTAC)LCT AT(CI)=CTAC=B,B为对称阵 又因郊=CTAC,而C可逆而CT亦可逆，由矩阵形 的性质即()=R(B)
将其代入 f = x T Ax,有 f x Ax T = y (C AC)y. T T ( ) = T = Cy 定义9 设A与B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C, B C AC T = 使 则称矩阵A与B合同。 结论 如果A为对称矩阵， B C AC, T C为可逆矩阵，令 = 则B也为对称矩阵, 因为 T T T B = (C AC) T T T T = C A (C ) C AC T = = B, B为对称阵。 又因为B C AC, T = 而C可逆，而C T 亦可逆，由矩阵秩 的性质即知R(A) = R(B). A(Cy) ACy T T = y C 且R(B) = R(A)