第二节向量组的线性相关性 线性代教
第二节 向量组的线性相关性
线性相关性的概念 定义4给定向量组4：a必1，a2,Cm,如果存在 全为零的数1，k2,km使 k141+k2a2+.+kmam=0 则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关 注意1.若a1,a2,.,am线性无关则只有当 k1=.=km=0时，才有 k1a1+k2必2++kmm=0成立
: , , , , 给定向量组A 1 2 m 注意 1. , , , , 若1 2 m 线性无关 定义4 一、线性相关性的概念 k1 1 + k2 2 ++ k m m = 0 如果存在不 全为零的数k1 ,k2 , ,k m 使 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。 0 . k1 1 + k2 2 ++ k m m = 成立 k1 == k m = 0时, 才有 则只有当
2.任一向量组不是蜓无就是线性 3.向量组只包含一个嗤 若ax=0,则说a,线性相关 ka 0 若a≠0，则说ax线性无关 4.包含零向量的低向量组是线性相关 5.对于只含有两个向耀组线性相关 充要条集两向量的分量对列 x1 例如两个三维向量= X2 B- '2 线性相关， X2 y2
3.向量组只包含一个向量时, 4.包含零向量的任何向量组 5.对于只含有两个向量的向量组， 若 = 0,则说 若 0,则 说线性无关. 线性相关, 是线性相关的. 它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比 例. 2.任一向量组,不是线性无关就是线性相关。 k = 0 = 2 2 1 x x x 例如两个三维向量 = 2 2 1 y y y 线性相关
1 y 例如两个三维向量= X2 B= y2 线性相关， X2 Y2 有k1,k2至少有一个不为零使k1a+k2B=0 不妨设k1≠0则a= K2, 即1=2=3=- 61 (对应分量成比例 y1 y2 V3 k2 6. 两向量相关的儿何麪向量共线 三个向量相关的几议妻三个向麒面 下面我们给出判定组戰性相关性一般方
= 2 2 1 x x x 例如两个三维向量 = 2 2 1 y y y 有k1 ,k2 至少有一个不为零，使 k1 + k2 = 0 不妨设k1 0 , 1 2 k k 则 = − 2 1 3 3 2 2 1 1 k k y x y x y x 即 = = = − 两向量相关的几何意义是两向量共线； 三个向量相关的几何意义 是三个向量共面。 下面我们给出判定向量组线性相关性一般方法。 ⒍ 线性相关， (对应分量成比例)
二、线性相关性的判定 定理向量组c1,a2,.,m(m≥2)线性相关 的充分必要条件是a1,a2,.,am中至少有 一个向量可由其余m-1个向量线性表示 证明充分性 设a41.a2,am中有一个向量（比如am)能 由其余向量线性表示 a=k a+kaz+.+kmiam1
二、线性相关性的判定 定理 向量组 1, 2 , , m (m 2 ) 线性相关 的充分必要条件是 1, 2 , , m 一个向量可由其余 m −1 个向量线性表示． 中至少有 证明 充分性 由其余向量线性表示. 设 1, 2 , , m 中有一个向量 ( 比如 m) 能 m = k1 1 + k2 2 ++ km−1 m−1
故 k1a1+k2a2+.+km-1am-1+(-1)m=0 因k1,k2,.km-6-1这m个数不全为0， 由定义知向量组a1,2,.,cm线性相关 必要性设41,2，0m线性相关， 则有不全为0的数k1,k2,km-1,km使 k1a1+k22+.+knam=0. 因k1,k2,km-1,km中至少有一个不为0， 不妨设k≠0则有
故 k1 1 + k2 2 ++ k m−1 m−1 + (−1) m = 0 因 k1 ,k2 , k m−1 ,−1 这 m 个数不全为0， m 线性相关. , , , 由定义知向量组 1 2 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 ,k2 , k m−1 ,k m 使 0. k1 1 + k2 2 ++ k m m = 因 k1 ,k2 , k m−1 ,k m 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0 则有
k1a1=-k,-knam,两边同乘，得 =司+*+f会 即能由其余向量线性表示. 证毕. 我们来看看如何的结论来 判断向粗的线性相关性
. 1 3 1 3 2 1 2 1 m m k k k k k k + + − + − = − 即 1 能由其余向量线性表示. 证毕. 我们来看看如何用方程组的结论来 判断向量组的线性相关性. , k1 1 = −k2 2 −− k m m 两边同乘 得 1 1 k
先看线性相关的定义 向量组4：必1，Q2,Cm,满足 k1必1+k22+.+kmam=0. k1,k2,.,km至少一个不为零 也就是齐次方程组 X1C1+202+.+xm0Cm=0.(P-5314式 有非零解靴1，k2,km,反之也是成立的。 由的系骏锂由网72，立照，可得个未知娄
先看线性相关的定义 : , , , , 向量组A 1 2 m k1 ,k2 , ,k m 至少一个不为零。 也就是齐次方程组 0. x1 1 + x2 2 ++ x m m = , , , , 有非零解k1 k2 km 反之也是成立的。 由上章定理4(p − 77)，立即可得0. k1 1 + k2 2 ++ k m m = 满足 (P − 53(14)式) 它的系数矩阵A = (1 ,2 , ,m )，m个未知数
定理4 向量组%，线性相关的 窃必要条裤虚所构战烨 A=(C必1,02，'，0H 的秩小于向量个数；向量组必1，必2，“，心 线性无关的充分必褆(A =m. 下面举例说明本定理的用 例1n维向量组 e1=1,0.,0,e2=(0,1,.,0,.,en=（0,0,.,l 称为维单位坐标向量组，讨论其线性相关
定理 4 向量组1 ,2 , , m 线性相关的 充分必要条件是 R(A) = m. 的秩小于向量个数m; ( , , , ) A = 1 2 m 它所构成的矩 阵 向量组1 ,2 , , m 线性无关的充分必要条件 是 下面举例说明本定理的应用。 例１ n 维向量组 (1,0, ,0) , 1 T e = (0,1, ,0) , 2 T e = ( ) T n ，e = 0,0, ,1 称为n维 单位 坐标向 量组,讨论其线性相关性
解n维单位坐标向量组矩阵 E=(e1,e2,.,en) 是一个n阶单位矩阵， 由E=1≠0，知R(E)=n. 即(E)等于向量组中向量个 故由定趣知此向量组是线性无关的 例1n维向量组 e1=(1,0,.,0),e2=(0,1,.,0),.,en=(0,0,10 称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性
n 维向量组 ( ) ( ) ( ) T n T T e 1,0, ,0 ,e 0,1, ,0 , e 0,0, ,1 1 = 2 = ， = 称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 . 解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 知R(E) = n. 即R(E)等于向量组中向量个数， 例１ ( , , , ) 1 2 n E = e e e 是一个n阶单位矩阵， 故由定理2知此向量组是线性无关的. 由E = 1 0