第四节对称矩阵的对角化 线性代数
第四节 对称矩阵的对角化
一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵。 定理5对称矩阵的特征值为实数， 证明设复数2为对称矩阵A的特征值，复向量x为 对应的特征向量， 即 Ax=x,x≠0. 用元表示2的共轭复数，表示x的共轭复向量 则 Ax=Ax=(Ac)=(2x)=元x
定理5 对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 Ax = x , x 0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) = (x) = x. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． x表示x的共轭复向量
于是有 xTAx=xT(Ax)=xTAx=AxTx, 及xAx=Ak=(Ax=(y长xx. 两式相减，得 (-)xx=0. 但因为x≠0， 所以 x=含，=含x≠0，→a-刃=0， 即2=几，由此可得2是实数
于是有 x Ax T x Ax T 及 x (Ax) T = x x T = x x, T = (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T = x x. T = 两式相减，得 ( − )x x = 0. T 但因为x 0, ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 = = = = n i i n i i i T 所以 x x x x x
定理1的意义 由于对称矩阵4的特征值孔：为实数 所以齐次线性方程组 (A-λ：E)x=0 是实系数方程组 由A一几：E=0知该方程组必有实的解藤 从而对应的特征向量取实向量
定理1的意义 由于对称矩阵 的特征值 为实数, A i 所以齐次线性方程组 (A− E)x = 0 i 是实系数方程组, 由A− i E = 0知该方程组必有实的基础解 系 从而对应的特征向量可以取实向量
定理6 设2,2是对称矩阵4的两个特征在 p1,p2是对应的特征诺1≠，则p1与P2 正交。 证明入1P1=Ap1,九2P2=Ap2,元1≠九2， A对称即A=AT, .p=(p)Y=(4p) =P A=pA, 于是p7P2=pAp2=pT(2P2）
定理6 , , 设1 2 是对称矩阵A的两个特征值 , . p1 p2 是对应的特征向若1 2， 则p1 与 2 p 正交。 , T 即A = A 证明 , 1 p1 = Ap1 , 2 p2 = Ap2 , 1 2 A对称, ( ) T T 1 p1 = 1 p1 ( ) T = Ap1 p A T T 1 = , 1 p A T = 于是 p p A T T 1 1 1 = ( ) p1 2 p2 T p2 p2 =
1p1p2=2p1p23 (21-2)p1p2=0 但≠，故pp2=0,即p,与p,正交 定理7设A为阶对称测必有胶 阵P,使PAP-PTAP=A,其中A 是以A的n个特征对角元的对角阵 堆腌接端称裤是A的特红 方程的重根则矩阵A一E的秩 R(A-E)=n-k,从而对应特征值
, 2 p1 p2 T 1 p1 p2 = T 1 2 1 2 ( )p p T − = 0 但1 2 ，故 0, p1 p2 = T . 即p1与p2正交 定理7 设A为n阶对称阵，则必有正交 阵P, = − P AP 使 1 P AP T = ，其中 是 以A的n个特征值为对角元的对角阵。 此定理不予证明。 推论由此定理 设A 得下面 为n阶对称阵， 的推论。是A的特征 方程的k重根，则矩阵A− E的秩 R(A− E) =n − k, 从而对应特征值
恰有k个线性无关的特征向星 证明 按定理7知对称阵A与对角阵 A=dig(1,.,m)相似，从而A-2E 与Λ-E=diag(21-九，.，2n-2)相 岁是的k重特征根时九1，.几，这n个 特征值中有个等孔，有n-k个不等， 从而对角阵一2E的对角元恰衸等： 于是R(A-元E)=n-k.而R(A-2E) = R(A-2E),所以R(A-2E)=n-k
恰有k个线性无关的特征向量。 证明 按定理7知对称阵 A 与对角阵 ( , , ) = diag 1 n 相似，从而A− E 与 − E = diag(1 − , , n − )相似。 （为什么？） 当 是 的 重特征根时，1 ， n A k 这n个 特征值中有k个等于，有n − k个不等于， 从而对角阵 − E 的对角元恰有k个等于0， 于是 R(−E) = n− k.而R(A− E) = R(− E), 所 以R(A− E) = n− k
二、利用正交矩阵将对称矩阵对 角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.求A的特征值； 2.由(A-,E)x=0,求出A的特征向量； 3.) 将特征向量正交化； 4.将特征向量单位化. (p125步骤)
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 二、利用正交矩阵将对称矩阵对 角化的方法 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化. 2. 由(A E)x 0,求出A的特征向量; − i = 1. 求A的特征值; （p125步骤）
例12 求一个正交阵P, 设A= -1 使P-1AP=人为对角阵 1 解 - -1 1-λ2-1 0 -2 A-AE -1 - 1 -1 -2 1 1 -2 1 -2 1-2 0 0 C2+C1 -1 -1-21 =(1-2)22+1-2) 1 2 -2 =-(2-1)2(2+2), A的特征值为21=-2,22=3=1
例12 设 , 1 1 0 1 0 1 0 1 1 − − A = 求一个正交阵P, 使P −1 AP = 为对角阵。 解 A− E − − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 2 r − r − − − − − 1 1 1 1 1 1 0 2 1 c + c − − − − − 1 2 1 1 1 1 0 0 (1 )( 2) 2 = − + − ( 1) ( 2), 2 = − − + A的特征值为1 = −2， 1. 2 = 3 =
对应=-2，解方程A+2E)x=0, 2 -1 1 A-2E= -1 2 0 1 1 2 0 0 0 -1 -1 得基础解系51=-1， 单位化可得= -1 1 对应2=3=1，解方程A-E)=0, A-E=
对应1 = −2，解方程(A+ 2E)x = 0, − − − = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A 2E 0 0 0 0 1 1 1 0 1 得基础解系 1 = , 1 1 1 − − 单位化可得 . 1 1 1 3 1 1 − − p = ～ r 对应2 = 3 = 1， − 0 0 0 0 0 0 1 1 1 解方程(A− E)x = 0, − − − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A E ～ r