第10章无穷级数 10.1 数项级数的概念与性质 10.2 正项级数及其敛散性 10.3任意项级数 10.4幂级数 10.5函数展开成幂级数 结束
10.1 数项级数的概念与性质 10.2 正项级数及其敛散性 10.3 任意项级数 10.4 幂级数 10.5 函数展开成幂级数 第10章 无穷级数 结束
10.1数项级数的概念与性质 10.1.1数项级数的概念 定义1设给定数列 41,u2,山3则表达式 称为（数项）无秀级数，简称数项级数，·记为 n=u1+u2+儿3+.+un+. 其中第7项称为级数的一般项或通项. 部分和数列S,}:级数(1)的前硕相加得到它的 前顶和，又叫部分和，记作当 侬次取 1,2, 时得到一个部分和数列{Sn}, 前页 后页结束
前页 后页 结束 前 项和，又叫部分和，记作 .当 依次取 部分和数列 ：级数(1)的前 项相加得到它的 n s n n 10.1.1 数项级数的概念 定义1 设给定数列 则表达式 称为(数项)无穷级数，简称(数项)级数，记为 1 2 3 1 n n n u u u u u = = + + + + + 其中第 项 称为级数的一般项或通项. u1 ,u2 ,u3 , ,un , (1) u1 +u2 +u3 ++un + n un n 1,2, { }n s 时得到一个部分和数列{ } . n s 10.1 数项级数的概念与性质
定义2当n→时如果级数 的部分和 数列{S有极限，即 lim,Sn S n→o0 则称无穷级数三收敛，称为此级数的和，且 有 S=41+2t.+儿m+ 若{s无极限，则称无穷级数 发撒. 定义3若级数之收敛，则称 Tn=S一Sn=41十4+2十.为级数的余项！ 前页后页结束
前页 后页 结束 数列 有极限 ，即 , s s n n = → {s n } s lim 则称无穷级数 收敛, 称为此级数的和,且 有 ; 定义2 当 时如果级数 的部分和 1 n n u = 1 n n u = 若 无极限，则称无穷级数 发散. 1 n n u = 定义3 若级数 收敛 ,则称 为级数的余项. { }n s n → 1 2 n s u u u = + + + + s 1 n n u = n n n n 1 2 r s s u u = − = + + + +
例1讨论几何级数∑u”-1+u+2的收敛性： 1=0 解(1)当公比u时1，此级数为： ∑1=1+1+1+.+1+. n=0 其前n项和为3.-公4-1=1+1++1=n 所以，1imsn=limn=co n→0 于是，当u时，此级数发散. 当u=,此级数为：∑(-1)”=1-1+1-1++(-1)”+. 前页后页结束
前页 后页 结束 解:(1)当公比 时，此级数为： 例1 讨论几何级数 的收敛性. 其前 n 项和为： 1 1 0 0 1 1 1 1 n n n i i i s u n − − = = = = = + + + = 所以， lim lim n n n s n → → = = 于是，当 u = 时，此级数发散 1 . 当 u = − 时，此级数为： 1
其前项和为%-4=111+（少0含数 0 1n为偶数 所以，imSn不存在，即该级数当u=-1时也发散， n->co (2)当4时，有：，=1+a+心2++=-心 1-u m1-w"= lims,=lim ,所以该级数收敛 n-→o0 n→1-u1- (3)当w时，显然有：imsn=im 1-” =0 n→o∞ n→o1-1u 所以该级数发散： 综合以上可得：级数 凿 时收敛，而当 时， n=0 前页后页结来
前页 后页 结束 其前 n 项和为： = = − + + + − = − − = 为偶数 为奇数 n n s u n n i n i 1 0 1 1 1 ( 1) 1 1 0 所以， n n s → lim 不存在, 即该级数当 u = −1 时也发散. (2)当 u 时，有： 1 2 1 1 1 n n n u s u u u u − = + + + + = − 1 1 lim lim 1 1 n n n n u s → → u u − = = − − ,所以该级数收敛. (3)当 u 时，显然有： 1 1 lim lim 1 n n n n u s → → u − = = − 所以该级数发散. 综合以上可得:级数 当 时收敛,而当 时发散. 0 n n u = u 1 u ≥1
0 例2判别级数 的收敛性 n=i n(n+1) 解因为 2 =2(- n(n+1) 'nn+l n=2L, .1 所以 12 2.3(n-1)n(n+1)n -0*写3*合21w 于是m.-m20-n+2 n->o >oc 故原级数收敛，且其和S二2 前页 后页结束
前页 后页 结束 =1 ( +1) 2 n n n 1 lim lim 2(1 ) 2 1 n n n s → → n = − = + 例2 判别级数 的收敛性 ) 1 1 1 2( ( 1) 2 + = − + = n n n n 解 因为 un 所以 1 1 1 1 2[ ] 1 2 2 3 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 2[(1 ) ( ) ( )] 2(1 ) 2 2 3 1 1 n s n n n n n n n = + + + + − + = − + − + + − = − + + 于是 故原级数收敛,且其和 s = 2
例3判别级数 ∑n1收敛性， n 解因为 、-之1+=h2+h+h中 =m2✉子x=n+0 于是 lim s,lim In(n+1)=co n>00 故原级数发散 前页后页结束
前页 后页 结束 例3 判别级数 的收敛性. = + 1 ) 1 ln(1 n n 解:因为 = + = + = + + + n t n n n t s 1 1 ln 2 3 ) ln 2 ln 1 ln(1 ) ln( 1) 1 2 3 ln( 2 = + + = n n n 于是 = + = → → lim s lim ln( n 1) n n n 故原级数发散
10.1.2数项级数的性质 性质1若级数三收敛于和5，则它的各项同乘以一 n=1 个常数所得的级数 西憋敛，且其和为若级熟 n=1 发散，且∑4刚 必定发散 ∑kln n=1 n=1 性质2如果级数 和。 分别收敛于和 S O =1 n=l 则∑(4，±，必收敛，其和为s+o. n= 前页 后页结束
前页 后页 结束 10.1.2 数项级数的性质 性质1 若级数 收敛于和s，则它的各项同乘以一 个常数 所得的级数 也收敛,且其和为 ;若级数 发散,且 ,则 必定发散. n=1 un n=1 n k ku ks n=1 un k 0 n=1 n ku 性质2 如果级数 和 分别收敛于 和 1 n n u = 1 n n v = s ( ) . 1 + = u v s n 则 n n 必收敛，其和为
例4判别级数 2的收敛性 解因为 ∑和 都建公比的绝对值小于1的 n= 等比级数，因此都收敛，由性质2知该级数收敛. 性质3增加或去掉级数的有限项，不改变级数的 敛散性.但当级数收敛时，其和一般会改变 性质4（级数收敛的必要条件）若级数 ∑收敛， 则必有1im4n=0. n>0 前页后页结束
前页 后页 结束 例4 判别级数 的收敛性 ) . 3 1 2 1 ( 1 1 1 = − − − n n n 解:因为 和 都是公比的绝对值小于1的 = − 1 1 2 1 n n = − 1 1 3 1 n n 等比级数，因此都收敛，由性质2知该级数收敛. 性质3 增加或去掉级数的有限项，不改变级数的 敛散性.但当级数收敛时,其和一般会改变. 性质4 (级数收敛的必要条件)若级数 收敛， n=1 n u lim = 0 → n n 则必有 u
由性质4我们可以得到如下结论： ()若∑un收敛，则其通项un趋于零； n=l (2)通项un不趋于零，则∑un发散； n=1 (3)通项u,趋于零，∑u,不一定收敛 n=l 所以，通项山，趋于零是∑4，收敛的必要条件 前页后页结束
前页 后页 结束 由性质4我们可以得到如下结论： 若 收敛，则其通项 n趋于零； n n u u =1 (1) 通项 不趋于零，则 发散； =1 (2) n un un (3) , . 1 通项 趋于零 不一定收敛 n= un un . 1 所以，通项 趋于零是 收敛的必要条件 n= n n u u