第4章不定积分 4.1不定积分的概念与性质 4.2不定积分的换元积分法 4.3不定积分的分部积分法 4.4积分表的用法 结束
4.1 不定积分的概念与性质 4.2 不定积分的换元积分法 4.3 不定积分的分部积分法 4.4 积分表的用法 第4章 不定积分 结束
4.1不定积分的概念与性质 4.1.1原函数的概念 定义设fx)在某区间上有定义，如果对该区间的任意 点x都有F'x)=f(x)或dFx)=f(c)dx 则称Fx)为f(x)在该区间上的一个原函数. 例如：y=x，是函数x在（←®，+）上的原函数 (sinx)/=cosx,sinx是c0sx在-o,+oo)上的原函数. 又如d(secx)=sec x tan xdx,所以secx是sec x tan x 的原函数 前页后页结束
前页 后页 结束 又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x 的原函数. 定义 设f (x) 在某区间上有定义，如果对该区间的任意 点x都有 F'(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx 则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数. 4.1.1 原函数的概念 例如: ， 是函数 在 上的原函数. ,sin x是cos x在 上的原函数. ( , ) − + 3 2 ( ) 3 x = x 2 x 3 3 x (sin ) cos x ' x = ( , ) − + 4.1 不定积分的概念与性质
注：(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存 在.具体理由将在下一章给出 (2)如果x)在某区间上存在原函数，那么原函数不 是唯一的且有无穷多个 例如在(-o,+与）是x 的原函数 而sinx+l,sinx+2sinx+l,sinx+3也是它的原函数 即cosx加任意常数都是sinx的原函数. (3)若函数f(x)在区间I上存在原函数，则其任 意两个原函数只差一个常数项， 此结论由Lagrange定理推论可证 前页后页结来
前页 后页 结束 (2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不 是唯一的,且有无穷多个 注:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存 在．具体理由将在下一章给出． 例如 而 在 ( , ) − + 上 是 的原函数 sin 1,sin 2 x x + + sin x cos x sin 1,sin 3 x x + + 也是它的原函数 即 cos x 加任意常数都是 sin x 的原函数. (3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任 意两个原函数只差一个常数项. 此结论由Lagrange定理推论可证
2.不定积分的概念 定义2如果函数Fx)是∫(x)在区间I上的一个原函数，那 么f(x)的全体原函数Fx)+C(C为任意常数)称为f(c)在区 间I上的不定积分.记作 ∫f(x)dx 即 [f(x)dx=F(x)+C, 其中记号，〔称为积分号，f(c)称为被积函数，f(c)dx称为 被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数. 前页后页结束
前页 后页 结束 定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那 么f (x)的全体原函数F(x) ＋C(C为任意常数)称为f (x)在区 间 I 上的不定积分. 记作 f x x ( )d 其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为 被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数. " " 即 f x x F x C ( )d ( ) = + ， 2.不定积分的概念
例1求∫xd 解由于y-x所以xr=+C 解 ".(arctanx)'=- (-0<x<+∞)为 1+x 所以在-0<x<+0上有 ∫，1dc=arctanx+C. 1十 前页后页结束
前页 后页 结束 例2 求 2 1 d . 1+ x x 2 1 (arctan ) ( ) 1 = − + + x ' x ， x 解 2 1 d arctan . 1 − + = + + 所以在 x 上有 x x C x 例1 求 d . 4 x x 5 4 ( ) 5 解 由于 x ' = x ， 5 4 d . 5 x C x x = + 所以
例3求∫dx 解当x>0时，有nxy=」 fd=mx+c (>0) 当时，)= 又∫dr=la(-)+C In 当x>0 ln(-x)当x<0, 所以jdc=lnl+C(x0, 前页后页结束
前页 后页 结束 例3 求 d . 1 x x , 1 ( 1) 1 ( ) 1 0 ln( ) x x x ' x x x ' − = − − = − 当 时，有 − = 解 d ln ( 0) 1 . 1 0 (ln ) = + = x x C x x x 当x 时，有 x ' 1 d ln ( 0). x x C x x = + 所以 − = ln( ) 0, ln 0, ln x x x x x 当 当 1 d ln( ) . x x C x = − + 又
3不定积分与微分的关系 微分运算与积分运算互为逆运算. (1)[[f()dxl'=f() 或dfx)dr=fx)dx, (2)∫F'(x)dc=Fx)+C 或∫dFx)=F)+C, 特别地，有∫dx=x+C 前页后页结束
前页 后页 结束 3 不定积分与微分的关系 微分运算与积分运算互为逆运算. (1) [ ( )d ] ( ) d ( )d ( )d f x x ' f x f x x f x x = = 或 ， 特别地，有 d . x x C = + (2) ( )d ( ) d ( ) ( ) F' x x F x C F x F x C = + = + 或
4.1.2不定积分的基本积分公式 (I)∫kdx=x+C 2,+0e 回变=nxc 9ja品+c (⑤)∫edx=e'+C. (6)「sin x dx=-cosx+C 前页后页结束
前页 后页 结束 (6) sin d cos x x x C = − + (1) d k x kx C = + 4.1.2不定积分的基本积分公式 d (3) ln | | . x x C x = + (5) d . e e x x x C = + 1 (2) d ( 1). 1 x x x C + = + − + (4) d . ln x x x C a a a = +
(⑦)[cosx dx=sinx+C. -eeixtw-tmtC dx =j小oerk=amxC dx (10)sec xtanx dx=secx+C. (11)[cscx cotx dx=-cscx+C. x x=arcsinx+C. (13) dx=arctanx+C 前页后页结束
前页 后页 结束 2 2 d (8) csc d cot . sin x x x x C x = = − + (10) sec tan d sec . x x x x C = + (7) cos d sin . x x x C = + 2 2 d (9) sec d tan . cos x x x x C x = = + (11) csc cot d csc . x x x x C = − + 2 1 (12) d arcsin . 1 x x C x = + − 2 1 (13) d arctan . 1 x x C x = + +
例4计算下列积分 0jt2r6 34 解（0jdr=xd=x行1+C 43+C -jx2 创=j业="c=C 前页后页结束
前页 后页 结束 例4 计算下列积分 d . 1 d . (3) 1 (1) d . (2) 2 3 x x x x x x . 4 3 1 3 1 1 3 4 1 3 1 x + C = x + C + = + x x x d x d 1 (2) 2 1 − = 解 (1) xdx x3 dx 1 3 = x x x x d d 1 (3) 2 2 − = 2 . 2 1 1 1 2 1 1 x + C = x + C − = − . 1 2 1 1 2 1 C x x + C = − + − + = − +