第五章习题课 线性代教
第五章 习题课
2004-20052004年2月 7.如果n阶矩阵4A满足ATA=E,则A= ±1 AA=E→AA=1→A2=1 8.如果向量=(2,3,2t-1)7与向画=(2，-t,3)正交 则1=⅓ [a,b]=0→4-3t+3(2t-1)=0→3t+1=0 9.设3阶方阵4的特征值分别为，1，-1，且3阶方阵B与 A相似，则2B2-3B+2E=4×1×7=28 .·A与B相似， p(B)=2B2,-3B+2E B的特征值也为1，-123=2x23x+2 p(2)=4.p(1)=10(-1)=7
2004 − 2005(2004年12月) 一、 ⒎ n A A A = E A = 如果 阶矩阵 满足 T ,则 . A A E T = A A = 1 T 1 2 A = 1 ⒏ 如果向量a = (2,3,2t − 1)T 与向量b = (2,−t,3)T 正交， 则 t = . a , b = 0 4 − 3 t + 3 ( 2 t − 1 ) = 0 3t +1 = 0 3 − 1 ⒐ 设3阶方阵A的特征值分别为2 ， 1 ， − 1 ， 且3阶方阵B 与 A相似，则 2B − 3B + 2E = 2 . A与B相似， B的特征值也为2，1，−1，(B) 2B 3B 2E 2 = − + ( ) 2 3 2 2 x = x − x + (2) = 4.(1) = 1. (−1) = 7. 417 = 28
10.设a和b都是长度的列向量耳a,b=1 则a+2b,u-b=-3 a+2b,a-b]=[a,a-b]+[2b,a-b] =[a,m]-[a,]+2,a-] =la-1+2,a]-2b,b]=22-1+2-2*22 =-3. 二、解答题 6.P130例4
⒑ 设 a 和 b都是长度为2的列向量，且a,b = 1 则a + 2b,a − b= a + 2b,a − b= a,a − b+ 2b,a − b = a,a−a,b + 2b,a − b 1 2 = a − + 2b,a− 2b,b 2 1 2 = − 2 + 2− 2* 2 = −3. −3 二、 解答题 ⒍ P130 例14
证明题 2.设U为可逆矩阵料=UTU,证明f=xAx为正定 证明为可逆矩阵 分析对任一x≠0， ·.对任一x≠0， 必有Ux≠0， f=xTAx =xTUTU 从而对任一x≠0， f=xTUTUx =(Ux)"(Ux) =(Ux)"(Ux) =[Ux,Ux]≥0 =[Ux,Ux>0. 可不可以只大矿 只要x≠0即可， 所以是正定的 而由可逆
三、证明题U A U U, T ⒉ 设 为可逆矩阵，= 证 明f = x T Ax为正定的 证明 U为可逆矩阵 对任一x 0, 必有Ux 0, 从而f x U Ux T T = (Ux) (Ux) T = = Ux,Ux 对任一x 0, 0. 所以f是正定的。 分析f x Ax T = 对任一x 0, x U Ux T T = (Ux) (Ux) T = = Ux,Ux 0 可不可以只大于0 只要Ux 0即可， 而由U可逆
2004-2005(2005年月 单项选择题 6.若【】，则n阶方阵A与B相似。 (A)A=B (B)R(A)=R(B),(C)A-AE=B-AE (D)A与B有相同的特征值，并金特征值各不相 可逆矩阵P使P-1AP=B 8设二次理=xTA(AT=A),则下列说法不正确的 (A)若f正定侧A>0 P133 (B)若f的负愤性指数则f正定， (C)若f正定，则的负惯性指数为 定理10,11 (D)若f正定则A的各阶主子式皆大
2004− 2005(2005年1月) 一、单项选择题 ⒍ 若 【 】, 则n阶方阵A与B相似。 (A) A = B (B) R(A) = R(B), (C) A− E = B− E (D) A与B有相同的特征值，并且n个特征值各不相同。 P P AP = B 可逆矩阵 使 −1 f x Ax(A A), T T 设二次型 = = 则下列说法不正确的是 若f正定，则A 0 若f的负惯性指数为0， ⒏ (A) (B) 则f正定， (C) 若f正定，则f的负惯性指数为0， (D) 若f正定，则A的各阶主子式皆大于0. P133 定理10，11
填空题 6.若A是正交的正定矩铡A=1 A=±1A>0 7.若阶方阵4的三个特征值为，-2,4， 则任A)的三个特征值为，-2,1 (传利=4A'的特征值为片 44的特征值为×)4(24 8
二、填空题 ⒍⒎⒏ 若A是正交的正定矩阵，则A = ． A = 1 A 0 1 若3阶方阵A的三个特征值为2 ， − 2 ， 4 ， 则( 14 A ) − 1 的三个特征值为 ． 1 1 41 ( ) 4 − − A = A A − 1 的特征值为21 21 − 41 21 4 4 1 A − 的特征值为 ) 21 4 * ( − 41 4 * 2 , - 2 , 1
8.设A是三阶方阵，且A-E=0,A-2E=0, A-3E=0,则A-4E=(-3)(-2)(-1)=-6 解由A-2E=0解A的个特征值为，2,3， 令p()=A-4E其三个特征值为 p(1)=1-4=-3p(2)=2-4=-2p(3)=-1 (x)=x-4
⒏ 设A是三阶方阵，且A− E = 0, A− 2E = 0, A− 3E = 0, 则A− 4E = ． 解 由A− E = 0 解 A 的3个特征值为1， 令(A) = A− 4E 2，3， 其三个特征值为 (1）= 1− 4 = −3 (−3) (x) = x −4 (2) = 2−4 = −2 (3) = −1 (−2)(−1) = −6
六已知二次型(K1,x2,x3)=x+3x3+3x3+2x2X3 (1)写出二次的矩阵料，(2)求A的特征值， 3)求A的特征向量， (4)用正交变换=Py,化二次理为标准型 (⑤)问二次是否为正定的？说期。(3分×5) 解) (2) 1-兄 0 0 A-2E= 0 3-兄 1 A= 0 3 0 3-2 0 13 =(1-2)2-2)(4-2) A的特征值为21=1,22=2,23=4
六、已知二次型 求A的特征值，2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + 3x + 3x + 2x x 求A的特征向量， (1)写出二次型f的矩阵A, (2) (3) (4) 用正交变换x = Py,化二次型f为标准型， (5) 问二次型f是否为正定的？说明理 由 。(3分5) 解(1) A = 3 3 1 0 0 0 0 1 1 (2) A− E − − − = 0 1 3 0 3 1 1 0 0 = (1−)(2−)(4−) A的特征值为1 = 1，2 = 2，3 = 4
(3)当2=1时，(A-E)x=0 0 0 A-E= 10 012 同解方程组为x2=0 当22=2时(A-2E)x=0 x3=0 基础解系为 基础解系为 52=(01-17 当23=4时(A-4E)x=0 51= 0 基础解系为 0 53=(011)7
(3)当1 = 1时， (A− E)x = 0 A− E = 0 1 2 0 2 1 0 0 0 ～ 0 0 1 0 1 0 0 0 0 同解方程组为 x2 = 0 x3 = 0 基础解系为 = 0 0 1 1 当2 = 2时，(A− 2E)x = 0 基础解系为 ( ) T 2 = 0 1 −1 当3 = 4时，(A− 4E)x = 0 基础解系为 ( ) T 3 = 0 1 1
4 0 将 51 = 0 52= -1 53= 1 单位化 (已正交 0 1 1 1 0 0 P1= 0 P2 5 -/√2 P3= 0 1/2 0 0 (⑤)是正定 构成正交阵P= 0 -1/21/2 因为A的三个 01/21/2 特征值均大 用正交变换=Py,化二次型为标准到因为的正惯 f=1x+2x+4x好 指数为)
= 0 0 1 1 = − 1 1 0 2 = 1 1 0 将 3 单位化 = 0 0 1 p1 2 2 2 p = = − 1 2 1 2 0 = 1 2 1 2 0 3 p 构成正交阵 = − 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 0 0 P 用正交变换x = Py, 化二次型为标准型 = + 2 1x1 f 2 2x2 2 + 4x3 (4) (已正交) (5) f是正定的， 因为A的三个 特征值均大于0 (因为f的正惯性 指数为3)