第六节用配方法化二次型为标准形 线性代教
第六节 用配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的具体步聚 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变. 问题有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法—拉格朗日配方法
一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变． 问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
拉格朗日配方法的步骤 1.若二次型含有x:的平方项，则先把含有 x:的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形； 2. 若二次型中不含有平方项，但是：≠0 (i≠)，则先作可逆线性变换 xi=yi-yj xj=yi+yi (k=1,2,n且k≠i,j) XK=yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方
1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; i x xi = = + = − k k j i j i i j x y x y y x y y (k = 1,2, ,n且k i, j) 拉格朗日配方法的步骤 2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 aij 0 (i j), 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方
例1化二次型 f=x+2x3+5x3+2x1x2+21x3+6x2x3 为标准形，并求所用的变换矩阵， 解 含有平方项 含有x的项配方> f=Ef2x+5x+2学不2+6.x, =x+2x1x2+2x1x3+2x2+5x3+6x2x3 (G1+x2+x3) 去掉配方后多出来的项 -号-x5-2x2写+2x2+5x3+6x2x3
解 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x , . 2 5 2 2 6 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 为标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x + x + x + x x + x x + x x 例1 1 2 1 3 2 x1 + 2x x + 2x x 2 3 2 3 2 = + 2x2 + 5x + 6x x 含有平方项 含有 x1的项配方 = ( ) 2 1 2 3 x + x + x 2 3 2 3 2 2 + 2x + 5x + 6x x 2 3 2 3 2 2 − x − x − 2x x 去掉配方后多出来的项
=(x+x,+x}+x+4x+4x,x =(+x2+x3}+(k2+2x. y1=X1+x2+ X1=1-y2+y3 令 y2=X32+2x → X2=y2-2y3 y3=x3 X3=y3 → 1
( ) 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 = x + x + x + x + 4x + 4x x ( ) ( 2 ) . 2 2 3 2 1 2 3 = x + x + x + x + x = = + = + + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 y x y x x y x x x 令 = = − = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 x y x y y x y y y − − = 3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 y y y x x x
∴f=x7+2x2+5x3+2xK2+2xx3+6x2x3 =+ 所用变换矩阵为 C-2 (1 -11 T00● 所用的变换为=Cy(是可逆的不是交的
1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x . 2 2 2 1 = y + y 所用变换矩阵为 , ( 1 0). 0 0 1 0 1 2 1 1 1 = − − C = C 所用的变换为x = Cy (是可逆的, 不是正交 的)
例2化二次型 f=2x1X2+2X1x3-6x2X3 成标准形，并求所用的变换矩阵. 解 由于所给二次型中无平方项，所以 x1=y1+y2 XI 1 令 X2=y1-y2, 即 -1 尤3='3 代入f=2x1K2+2x1K3-6x2x3, 得 f=2-2y吃-41y3+8y2y3
, 3 3 2 1 2 1 1 2 = = − = + x y x y y x y y 令 解 2 2 6 , x1 x2 x1 x3 x2 x3 代入 f = + − 2 2 4 8 . 1 3 2 3 2 2 2 1 得 f = y − y − y y + y y , . 2 2 6 1 2 1 3 2 3 成标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x x + x x − x x 例2 由于所给二次型中无平方项，所以 = − y y y x x x 3 2 1 3 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 即
再配方，得 f=2(y1-3}-2(0y2-2y32+6: 1=y1-y3 应 z2=y2-23 z3=y3 y1=1+3 → y2=2+23) y3=Z3 得 f=2z7-2z7+6z3
再配方，得 2( ) 2( 2 ) 6 . 2 3 2 2 3 2 1 3 f = y − y − y − y + y = = − = − 3 3 2 2 3 1 1 3 2 z y z y y z y y 令 2 , 3 3 2 2 3 1 1 3 = = + = + y z y z z y z z 2 2 6 . 2 3 2 2 2 1 得 f = z − z + z = z z z y y y 3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1 即
所用变换矩阵为 0101 1 8 0 0 3 (C=-2≠0) 0
所用变换矩阵为 = − 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 C . 0 0 1 1 1 1 1 1 3 = − − (C = −2 0)
二、小结 将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法， 也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于 问题的要求.如果要求找出一个正交矩阵，无疑应 使用正交变换法：如果只需要找出一个可逆的线性 变换，那么各种方法都可以使用.正交变换法的好处 是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但 计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用 拉格朗日配方法反而比较简单.需要注意的是，使用 不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形 中含有的项数必定相同，项数等于所给三次型的秩
二、小结 将一个二次型化为标准形， 需要注意的是， 也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于 问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应 使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性 变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处 是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但 计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少， 拉格朗日配方法反而比较简单． 使用 使用 不同的方法，所得到的标准形可能不相同， 中含有的项数必定相同， 但标准形 项数等于所给二次型的秩． 可以用正交变换法