第四节线性方程组解的结构 美学释夜
第四节 线性方程组解的结构
对于线性方程生 齐次 非齐次 411X1+412x2+.+41nXn=0 11比1+012X2+.+41mXn=b1 21X1+422X2+.+02mXn=0 a21X1+a22X2+.+2mxn=b2 0m1X1+m2X2+.+mmXn=0 +am2x2++amn xn bm 我们可以用矩阵的初换求解它们，并有的两个定理， 有非零解系数矩阵的秩 有解台R(A=RB R(A<n. 当(A)=R(B)<n时精无限多 下面我们用向量组线联的锂论来论线划耀组萌解解 先讨论齐次线性方程
对于线性方程组 齐次 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 非齐次 我们可以用矩阵的初等变换求解它们，并有如下的两个定理， 有非零解系数矩阵的秩 R(A) 有解 n. R(A) = R(B), 当R(A) = R(B) n时 当R(A) = R(B) = n时有惟一解。 有无限多解， 下面我们用向量组线性相关的理论来讨论线性方程组的解。 先讨论齐次线性方程组
一、齐次线性方程组解的性质 1.解向量的概念 设有齐次线性方程组 4111+012X2+.+41mXn=0 L21七1+22X2++42mXn=0 (1) m1七1+0m2X2+.+mmXn=0 若记
１．解向量的概念 设有齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 若记 （1） 一、齐次线性方程组解的性质
1 2 n X1 21 x2 A= l22 Q2n X= Ami (m2 mn 则上述方程组(1)可写成向量方程 AX=0 (2) 若七=1，x=521,水n=5n1为方程4X=0 的解，则
, a a a a a a a a a A m m mn n n = 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = xn x x x 2 1 则上述方程组（1）可写成向量方程 AX = 0 (2) 1 1 1 2 2 1 xn n1 若 x = , x = ,, = 为方程AX = 0 的解 , 则
线性方程组) 0111+012X2+.+41mXn=0 x=51= 521 21K1+22X2++42mXn=0 m火+0m2X2+.+amXn=0 称为方程组(1) 的解向量， 向量方程(2) 它也就是向量方程(2) AX=0, 的解
= = 1 21 11 1 n x 称为方程组(1) + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 线性方程组(1) 的解向量， 它也就是向量方程(2) 的解． 向量方程(2) AX = 0
2.齐次线性方程组解的性质 (1)若x=5,x=52为Ax=0的解，则 x=51+52 也是Ax=0的解。 证明·51,52是Ax=0的解， ∴.A51=0,A52=0 .A(51+52)=A51+A52=0 故x=5+52也是Ax=0的解
２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 x = 1 ,x = 2 为 Ax = 0 的解， 证明 A( 1 + 2 ) = 0, A 1 = 故 x 也是Ax 0的解. = 1 + 2 = 则 x = 1 + 2 也是Ax = 0的解。 1 , 2是Ax = 0的解， A 1 +A 2 = 0 A 2 = 0
(2)若x=5为Ax=的解，k为实数则 x=kg 也是方程2)：Ax=0的解。 证明 ·5是A比=0的解， .A51=0, 又：Ak5)=kA(5)=0, ∴.x=k5是非方程2)：Ax=0的解。 证毕
（2）若 为 Ax = 0 的解， 证明 ( ) A k 1 证毕. x = 1 k为实数，则 x = k 1 也是方程(2): Ax = 0的解。 1 是Ax = 0的解， 0, A 1 = 又 x = k 1是非方程(2): Ax = 0的解。 = ( ) kA 1 =0
二、基础解系及其求法 1.基础解系的定义 现将方程2)：Ax=0的全体解所组成的集作S, 如我们能求得解集的一个最大无关组： 51,52,.,5. 那么方程2)：Ax=0的任一都可由最大无关纽 线性表示另一方面由上述性质，2可知最大无关组 S的任何线性组合x=k151+k25++k,5都是 方程2)：Ax=0的解，方程2)的通解。 齐次线性方程组的最大无关组称为该济线性
二、基础解系及其求法 １．基础解系的定义 现将方程(2): Ax = 0的全体解所组成的集合记作S, 如果我们能求得解集S的一个最大无关组S0 ： 1 2 , , , , t 线性表示； 那么方程(2): Ax = 0的任一解都可由最大无关组S0 另一方面，由上述性质1，2可知， S0 的任何线性组合x = k1 1 + k2 2 ++ kt t 最大无关组 方程(2): Ax = 0的解，方程(2)的通解。 都是 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性
方程组的基础解釉上面的讨论可腰求齐次线性 方程组的通解只需求出它的基础解 2.线性方程组基础解系的求法 设齐次线性方程组的系数矩阵为A,并不妨 设A的前”个列向量线性无关.于是A可化为 0b11 bin=r 0 A~ b:- 0 0
２．线性方程组基础解系的求法 − − 0 0 0 0 0 1 1 0 ~ 1 , 1 1 1, r r n r n r b b b b A 设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 r 个列向量线性无关．于是 可化为 A A A 方程组的基础解系。由上面的讨论可知，要求齐次线性 方程组的通解，只需求出它的基础解系
0b1 bin-r x1 X2 0 b Ax=0台 .n-r =0 0 0 0 X1=-b11心+1-b1n-xn X,=-b1水+1-b,mpxW
0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 1 , 1 1 1, = − − n r r n r n r x x x b b b b = − − − = − − − + − + − r r r r,n r n r ,n r n x b x b x x b x b x 1 1 1 1 1 1 1 Ax = 0