第七节正定二次型 线性代教
第七节 正定二次型
惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质
一、惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
定理1（惯性定理设有实二次型=xTx,它的秩 为r,有两个实的可逆变换 x=Cy及 x=Pa 使f=k1y+k2y吃+.+ky (k≠0) 及f=z+22z2+.+九，z (2,≠0) 则k1,k,中正数的个数与几1，.，几，中正数的个数 相等
( ) ( ) . , , , , 0 , 0 , , 1( ) , 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 相 等 则 中正数的个数与 中正数的个数 及 使 及 为 有两个实的可逆变换 定 理 惯性定理 设有实二次型 它的秩 r r r r i r r i T k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz r f x Ax = + + + = + + + = = =
二次型的标准型重系数的个数为 二次型的征惯性指数， 负系数的个数为负惯性指数。 我们只讨征惯性指妫n 或负惯性指数n的n元二次型 我们有下面负定的概念 二、正（负）定二次型的概念 定义1设有实二次型f(x)=xA比， 如果对任何≠0，都有f(x)>0
二次型的标准型中正系数的个数称为 二次型的正惯性指数， 负系数的个数称为负惯性指数。 我们只讨论正惯性指数为n 或负惯性指数为n的n元二次型。 我们有下面正(负)定的概念。 二、正(负)定二次型的概念 定义1 f (x) x Ax, T 设有实二次型 = 如果对任何x 0,都有f (x) 0
显然f0)=0),则称为正定二次秀 并称对称矩阵4是正定的 如果对任何≠0都有f(x)<0, 则称为负定二次骈称对称矩形 是负定的 例如 f=x2+4y2+16z2为正定二次型 f=-x-3x3 为负定二次型 对于比较复杂的二次如何判定呢？ 我们有下面的判断方法
(显然 f (0 ) = 0 ), 则 称f为正定二次型, 并称对称矩阵A是正定的; 如果对任何x 0都 有f ( x ) 0 , 则 称f为负定二次型,并称对称矩阵A 是负定的. 例如 2 2 2 f = x + 4 y + 16 z 为正定二次型 22 2 f = − x 1 − 3 x 为负定二次型 对于比较复杂的二次型如何判定呢？ 我们有下面的判断方法
三、正（负）定二次型的判别法 定理2 实二次型=xTAx为正定的充分必要条 件是：它的标准形的个系数全为正 证明设可逆变换x=Gy使 f(x)=f(G)=∑k片. 充分性 设k,>0(i=1,n).任给x≠0， 则y=Cx≠0， 故f(x)=2k好>0
证明 设可逆变换x = Cy使 ( ) ( ) . 2 1 i n i i f x f Cy k y = = = 充分性 k 0 (i 1, ,n). 设 i = 任给 x 0, y = C x 0, 则 -1 故 ( ) 0. 2 1 = = i n i i f x k y 三、正(负)定二次型的判别法 : . 2 件 是 它的标准形的 个系数全为正 定 理 实二次型 为正定的充分必要条 n f x Ax T =
必要性 假设有k,≤0，则当y=e,(单位坐标向量时， f(Ce,)=k,≤0. 显然Ce,≠0，这与f为正定相矛盾. 故k>0(i=1,n). 即它的正惯性指数 推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正
必要性 0, 假设有ks 则当 (单位坐标向量)时, s y = e ( ) = 0. Ces ks f 0, 显然Ces 这与 f 为正定相矛盾. 故 k 0(i 1, ,n). i = 推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． A A (即它的正惯性指数为n. )
定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式为正，即 411>0, L11 12 >0, :>0; L21 L22 对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 11 air (-1Y >0,（r=1,2,.,n) 这个定理称为霍尔维茨定理
0, a11 0, 21 22 11 12 a a a a , 0; 1 11 1 n nn n a a a a ( 1) 0, ( 1,2, , ). 1 1 1 1 r n a a a a r rr r r − = 这个定理称为霍尔维茨定理． 定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 A A 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 A
正定矩阵具有以下一些简单性质 1.设A为正定实对称阵则AT,A1,A*均为正 定矩阵 2.若A,B均为阶正定矩阵则A+B也是正定 矩阵
正定矩阵具有以下一些简单性质 ; 1. , A , , T 1 定矩阵 设A为正定实对称阵则 A − A 均为正 . 2. , , 矩 阵 若A B均 为n阶正定矩阵 则A+ B也是正定
例1判别二次型 f(x1,K2,x3)=5.x7+x子+53+4x1x2-8x63-4x253 是否正定 52 -4 解f(x1,x2,x3)的矩阵为 21 -2 -4 -2 5 它的顺序主子式 5 2 -4 5>0, 1 -2 =1>0, -4 -2 5 故上述二次型是正定的
例1 判别二次型 ( ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 5x + x + 5x + 4x x − 8x x − 4x x 是否正定. 解 f (x1 , x2 , x3 )的矩阵为 , 4 2 5 2 1 2 5 2 4 − − − − 它的顺序主子式 5 0, 1 0, 2 1 5 2 = 1 0, 4 2 5 2 1 2 5 2 4 = − − − − 故上述二次型是正定的