第9章常微分方程 9.1常微分方程的基本概念 9.2可分离变量的微分方程 9.3一阶微分方程与可降阶 的高阶微分方程 9.4二阶常系数微分方程 9.5常微分方程的应用举例 结束
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶 的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例 第9章 常微分方程 结束
9.1常微分方程的基本概念 定义一 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶 无法示图片 一阶微分方程的一般形式是F(x,Jy,y)=0 二阶微分方程的一般形式是F(x,y',y")=0 前页后页结来
前页 后页 结束 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。 定义一 9.1 常微分方程的基本概念 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶 一阶微分方程的一般形式是 二阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y ) = 0 F(x, y, y , y ) = 0
注：在微分方程中，未知函数及自变 量可以不出现 例： +ay2=bx是一阶微分方程 d'y. +a +bx=x是二阶微分方程 d 前贡后页结束
前页 后页 结束 是二阶微分方程 d d d d bx x x y a x y + + = 2 2 注：在微分方程中，未知函数及自变 量可以不出现 是一阶微分方程 d d ay bx x y + = 2 2 例：
定义3能使微分方程成为恒等式的函数y=p(x) 叫做微分方程的解. 其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的 积分曲线 例如，y=e2是方程y'-2y=0的一个解. 我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原 函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个 解 前页后页结束
前页 后页 结束 定义3 能使微分方程成为恒等式的函数 y = (x) 叫做微分方程的解． 其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的 积分曲线． 例如， x y e 2 = 是方程 y − 2y = 0 的一个解． 我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原 函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个 解．
例1已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)， 且在该曲线上任一点p(x,y处的切线斜率 等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程 解设所求曲线的方程为y与yx), 根据导数的几何意义及本题给出的条件，得 y=y2即 dy d 1 积分得x=-二+C V 又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得C= 3 2 31 故所求曲线的方程为x= 前页后页结求
前页 后页 结束 2 y = y 等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程． 例1 已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)， 且在该曲线上任一点 p(x, y) 处的切线斜率 解 设所求曲线的方程为y=y(x)， 根据导数的几何意义及本题给出的条件，得 2 y x y = d d 即 C y x = − + 1 积分得 又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得 2 3 C = 故所求曲线的方程为 y x 1 2 3 = −
定义4 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程 的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称 此解为该方程的通解（或一般解) 一阶微分方程的通解是 y=y(x,C) 二阶微分方程的通解是 y=y(x,C],C2) n阶微分方程的通解中，必须含有n个任意常数 其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分 曲线族。 前页后页结束
前页 后页 结束 此解为该方程的通解（或一般解）． 定义4 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程 的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称 一阶微分方程的通解是 y y x C = ( , ) 二阶微分方程的通解是 1 2 y y x C C = ( , , ) n阶微分方程的通解中，必须含有n个任意常数． 其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分 曲线族．
定义5 如果指定通解中的任意常数为某一固定常数， 那么所得到的解叫做微分方程的特解. 如方程y'-2y=0的通解是y=Ce2x 而y三e2x就是一个特解，这里 C=1 在具体问题中常数C的值总是根据“预先给定的 条件”而确定的.如例1中的曲线通过点(1,2) 这个“预先给定的条件”叫初始条件 定义6 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般 称为初始条件，当通解中的各任意常数都取 得特定值时所得到的解，称为方程的特解 前页后页结束
前页 后页 结束 定义5 如果指定通解中的任意常数为某一固定常数， 那么所得到的解叫做微分方程的特解． x y Ce2 如方程 y y − = 2 0 的通解是 = 而 x y e 2 = 就是一个特解，这里 C = 1 在具体问题中常数C的值总是根据“预先给定的 条件”而确定的．如例1中的曲线通过点（1 , 2） ， 这个“预先给定的条件”叫初始条件． 称为初始条件．当通解中的各任意常数都取 定义6 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般 得特定值时所得到的解，称为方程的特解．
通常情况下， 一阶微分方程的初始条件是 ☒无法品示该图 即 y(xo)=Yo 二阶微分方程的初始条件是y=,=y及儿=名 即 y(x)=与y'(x)Fy% 一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题， 求解其初值问题就是求方程的特解， 前页后页结束
前页 后页 结束 通常情况下， 0 0 即 y(x ) = y 二阶微分方程的初始条件是 0 0 y y x x = = 及 0 x x 0 y y = = 即 0 0 y x y ( ) = 与 0 0 y x y ( ) = 一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题， 求解其初值问题就是求方程的特解． 0 0 y y x x = 一阶微分方程的初始条件是 =
例2 验证函数y=e'+ex是不是方程 Jy”-2y+y=0的解 解▣求y=e'+ex的导数，得 y'=ex-ex,y"=ex+ex 将y、y及y”代入原方程的左边，有 ▣e'+ex-2e+2ex+e'+ex≠0 即函数y=+ex不满足原方程 所以该函数不是所给二阶微分方程的解 前页后页结束
前页 后页 结束 x x y e e − 例2 验证函数 = + 是不是方程 y − 2y + y = 0的解. 解 求 x x y e e − = + 的导数，得 , x x y e e − = − x x y e e − = + 将y、y 及y 代入原方程的左边，有 + − 2 + 2 + + 0 x − x x − x x − x e e e e e e 即函数 x x y e e − = + 不满足原方程， 所以该函数不是所给二阶微分方程的解．
例3 验证y=Cx是不是方程3y-y'=0的通解(C 为任意常数)，并求满足初始条件y(1)=。的特解 由y=Cx3得y'=3Cx2. 解 将y和y代入原方程的左边 3Cx3-x3Cx2 0 ∴.y=Cx满足原方程 又因为该函数含有一个任意常数， ∴.y=Cx3是一阶微分方程3y-y=0的通解 将初始条件0-；代入通解，得C= 3 1 故所求特解为Jy= 3 前页后页结来
前页 后页 结束 3 y = Cx 3 y − xy = 0 3 1 y(1) = 解 由 3 y = Cx 得 3 . 2 y = Cx 将y和y 代入原方程的左边 3 3 0 3 2 Cx − x Cx = 3 y = Cx 满足原方程． 又因为该函数含有一个任意常数， 3 y = Cx 是一阶微分方程 3 y − xy = 0 的通解． 为任意常数）, 并求满足初始条件 例3 验证 是不是方程 的通解（C 的特解． 将初始条件 3 1 y(1) = 代入通解，得 3 1 C = 故所求特解为 3 3 1 y = x