第二章矩阵习题误 一.主要内容 二.典型例题 三.测验题
1 第二章 矩阵习题课 一. 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题
一.主要内容 1.矩阵的定义 由m×n个数a(i=1,2,;j=1,2,.,n) 排成的m行n列的数表， 012 简称m×n矩阵.记作A= L21022 简记为A=（au)或A 实矩阵：元素是实数 复矩阵：元素是复数 2
2 一. 主要内容 1. 矩阵的定义 = m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 记作 简记为 ( )ij m n A a = A mn 或 m n a (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) 由 个数 ij = = 排成的m行n列的数表， 简称mn矩阵. 实矩阵: 元素是实数 复矩阵： 元素是复数
一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵 2.矩阵的基本运算 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 矩阵相等：两个矩阵同型，且对应元素相等 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减） 加法满足（)交换律：A+B=B+A. 2)结合律：（A+B)+C=A+(B+C) 3)A+0=A,其中A与O是同型矩阵 (4)A+(-)=O. 3
3 一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵 2. 矩阵的基本运算 矩阵相等: 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 两个矩阵同型，且对应元素相等 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减） 加法满足 (1) 交换律：A + B = B + A. (2) 结合律： (A + B) + C = A + (B + C). (4) A + (− A) = O. (3) A + 0 = A,其中A与O是同型矩阵
数与矩阵相乘：数入与矩阵A的乘积记作入A或A几，规定为 元A=A九=(2ai) 数乘满足(2)A=兄(A)； (2+4)A=2A+A; (A+B)=2A+λB. 矩阵与矩阵相乘：设A=(amx,B=(b)x, 规定AB=C=(C)mxn 其中cg=mibj+ab2y+.+abg=∑absy (i=1,2,.,m;j=1,2,.n) 4
4 数乘满足 ()A = (A); ( + )A = A+ A; (A+ B) = A+ B. 数与矩阵相乘：数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为 ( ) A A a = = ij 矩阵与矩阵相乘： ( ) ( ) , , A B a b ij ij m s s n 设 = = 规定 ( ) , AB C ij m n c = = 其中 1 1 2 2 1 ( 1,2, , ; 1,2, ) s ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b i m j n = = + + + = = =
乘法满足(AB)C=A(BC)； 2(AB)=(2)B=A(2B),(其中2为数)； A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA; Em Amxn Amxn Amxn En 矩阵乘法不满足：交换律、消去律 5
5 乘法满足 (AB)C = A(BC); (AB) = (A)B = A(B), (其 中为 数); ( ) ; ( ) , B C A BA CA A B C AB AC + = + + = + E A A A E . m mn = mn = mn n 矩阵乘法不满足：交换律、消去律
方阵的幂：A是n阶方阵，A=AA.A 并且 k个 (A")=A(m,k为正整数) 方阵的多项式： f(x)=axxk+ax+.+ax+ao f(A)=aA+4k-1A-1+.+4,A+a,E 方阵的行列式： 满足：(I)A=A (2)24=2”A; 3AB=AB 6
6 A是n 阶方阵， k个 k 方阵的幂： A = A A A 方阵的多项式： 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a k k k = k + + + + − − 1 0 1 1 f (A) a A a A a A a k k k = k + + + + − − E m k m k A A A + = ( ) k m mk A A = 并且 （m,k为正整数） 方阵的行列式： 满足: (1) A A; T = (2) A A; n = (3) AB = A B
一些特殊的矩阵： 转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT· 满足：（①）(Ay= (2)(A+B)'=A+B; (3)(4y=4'; (4)(AB)=BA. 对称矩阵和反对称矩阵： A是对称矩阵 → A"=A A是反对称矩阵 → A=-A 幂等矩阵：A为n阶方阵，且A=A 7
7 转置矩阵: 一些特殊的矩阵: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . A A A 满足： (1)(A ) A; T T = (2) ( ) ; T T T A+ B = A + B (3) ( ) ; T T A = A (4) ( ) . T T T AB = B A 对称矩阵和反对称矩阵： A A A A T T A A = − = 是反对称矩阵 是对称矩阵 幂等矩阵： A为n阶方阵，且 2 A A =
伴随矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式A所 构成的如下矩阵 Au A A A 2 A AA◆=AA=AE. 8
8 伴随矩阵：行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 A Aij = n n nn n n A A A A A A A A A A 1 2 12 22 2 11 21 1 AA = A A = AE.
3.逆矩阵 定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵，使得AB=BA=E 则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的) 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 定定理：n阶方阵A可逆台A0且A= 推论：设A、B为同阶方阵，若AB=E, 则A、B都可逆，且A=B,B-=A 9
9 3. 逆矩阵 定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E = = 则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的） 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 判定定理: n阶方阵A可逆 A 0 1 1 A A A − 且 = 推论：设A、B为同阶方阵，若 AB E= , 则A、B都可逆，且 1 1 A B B A − − = =
满足规律：(A)=A, (aA)=子Ar(元≠0) (A)=(A,A=A 逆矩阵求法：(1)待定系数法 (2)伴随矩阵法 (3)初等变换法 4.分块矩阵 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似， 10
10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) , ( 0) ( ) ( ) ( ) , T T A A A A A A A A − − − − − − − − = = = = 满足规律： 逆矩阵求法：（1）待定系数法 （2）伴随矩阵法 （3）初等变换法 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似． 4. 分块矩阵