第1章函数极限与连续 1.1 函数 1.2极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性 结束
1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性 第1章 函数极限与连续 结束
1.1函数 1.1.1 函数的概念 定义1设x与是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取 一个数值时，变量x按照某种对应法则f总有一个确定的 数值y与之对应，则称变量为变量x的函数，记作 x∈Dy=f(x) 称D为该函数的定义域记为D,.称为自变量，称y为因变量， 当自变量x取数值x∈D时，与x,对应的因变量的值 称为函数y=f(x)在点，处的函数值，记为f(x,)或yk=,， 当x取遍D内的各个数值时，对应的变量，取值的全体组成 数集称做这个函数的值域记为Z,。 前页后页结束
前页 后页 结束 当自变量x取数值 时，与 对应的因变量y的值 称为函数 在点 处的函数值,记为 或 . 当x 取遍D内的各个数值时, 对应的变量y 取值的全体组成 0 x D 0 | x x y = 0 x 0 x 0 f x( ) 定义1 设x与y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取 一个数值时，变量x 按照某种对应法则f 总有一个确定的 数值y 与之对应，则称变量y为变量x 的函数，记作 称D为该函数的定义域.记为Df ．称x为自变量，称y为因变量. x D 1.1.1 函数的概念 数集称做这个函数的值域.记为Zf 。 1.1 函 数 y f x = ( ) y f x = ( )
1.1.2 函数的表示法 (1)公式法用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关 系，是函数的公式表示法如例1是用公式法表示函数， 刚1已知某商品的总成本函数为：G-Q@=10+亨 (2)表格法自变量x与因变量的一些对应值用表格列出 例2某工厂全年1一6月原材料进货数量如下表，这 里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系. T(月) 2 4 5 6 Q(吨) 11 10 12 11 12 12 前页后页结来
前页 后页 结束 1.1.2 函数的表示法 例1 已知某商品的总成本函数为： 2 ( ) 100 4 Q C C Q = = + 例2 某工厂全年1—6月原材料进货数量如下表，这 里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系． T(月) 1 2 3 4 5 6 Q(吨) 11 10 12 11 12 12 (1)公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关 系，是函数的公式表示法.如例1是用公式法表示函数. (2)表格法 自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出
(3)图示法用函数yx)的图形给出自变量x与因变量y 之间的关系： 例3需求函数与供给函 数.Q=fP) Q=pP) O=0(P) 如图.P表示商品价格，Q 表示需求量，供给量，E点 Q=f(P) 为需求和供给平衡点· P 说明 三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角 函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相 互补充。 前页后页结束
前页 后页 结束 (3) 图示法 用函数y=f(x)的图形给出自变量x与因变量y 之间的关系. 例3 需求函数与供给函 数. , 如图.P表示商品价格,Q 表示需求量,供给量,E点 为需求和供给平衡点． Q f P = ( ) Q P =( ) S S E Q P O Q=φ(P) Q=f(P) 说明 三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角 函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相 互补充
注： (1)函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素 (2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则 它们是相同的函数 (3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的 (4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义 域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组 成的数集， 例4求函数y= x+1 x+3 的定义域 解当分母 x+3≠0时，此函数式都有意义 因此函数的定义域为(-o,-3)U(-3,+∞) 前页后页结束
前页 后页 结束 例4 求函数 的定义域 (1)函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素。 注: (2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则 它们是相同的函数． (4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义 域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组 成的数集. (3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的. 1 3 x y x + = + 解 当分母 x + 3 0 时,此函数式都有意义 因此函数的定义域为 ( , 3) ( 3, ) − − − +
例5求函数y=V16-x2+ln(sinx)的定义域 解要使函数y有定义，必须使 16-x220, 成立 sinx>0, 即 -4≤x≤4， 2nm<x<(2n+1)z,n=0,±1，±2，. 这两个不等式的公共解为 -4≤x<-π与0<x<π， 所以函数的定义域为-4，-x)与(0，π). 前页后页结束
前页 后页 结束 例5 求函数 的定义域. 2 y x x = − + 16 ln(sin ) 4 4, 2 (2 1) , 0 1 2 x n x n n 即 ， ， ， − + = 所以函数的定义域为[ 4, ) (0, ) − − 与 . 解 要使函数y 有定义，必须使 2 16 0, sin 0, x x 成立 − − − 4 0 , x x 与 这两个不等式的公共解为
例6 设有函数1心)=x=1,g网= ,问它们是否为 同一个函数 解当x≠-1时，函数值f(x)=g(x), 但是f(x)的定义域(-o,+∞)， 而g(x)在点x=-1无定义 其定义域为(-o,-1)与(-1，+∞)： 由于f(x)与g(x)的定义域不同，所以它们不是 同一个函数 前页后页结束
前页 后页 结束 解 当 时,函数值 设有函数 ,问它们是否为 同一个函数. 2 1 ( ) 1, ( ) 1 x f x x g x x − = − = + 例6 f x g x ( ) ( ), = ( , ), − + 由于 与 的定义域不同,所以它们不是 同一个函数. f x( ) g x( ) x −1 但是 f x( ) 的定义域 而 在点 无定义 其定义域为 g x( ) x = −1 ( , 1) ( 1, ). − − − + 与
在实际问题中，有时会遇到一个函数在定义域的 不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函 数称为分段函数. 例如符号函数 x>0 y=sgnx 是一个分段函数，它的定义域为（一0，十0） 分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不 是表示几个函数， 前页后页结束
前页 后页 结束 在实际问题中,有时会遇到一个函数在定义域的 不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函 数称为分段函数． 例如符号函数 1 0 0 0 1 0 , sgn , , x y x x x = = = − 是一个分段函数，它的定义域为 ( , ) − + 分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不 是表示几个函数
例7 y=f(x)= x2, 0≤x≤1， 2x, 1<x≤2. fx)的定义域是0,2]， 当∈I0,1时，f(x)=x2 当∈(1,2时，f(x)=2x 由于 21eo, 因此/9-w=r= 而e2因此/)2×-3 前页后页结束
前页 后页 结束 2 , 0 1, ( ) 2 , 1 2. x x y f x x x = = f (x)的定义域是[0,2]， 2 2 1 1 1 2 , (1) 1 1; 2 2 4 f f = = = = 因此 1 ,1 [0,1] 2 由于 ， 例7 3 3 3 (1,2] 2 3. 2 2 2 f = = 而 ，因此 当 x [ , ] 0 1 时, 2 f x x ( ) = 当 x ( , ] 1 2 时, f x x ( ) 2 =
1.1.3 复合函数 定义设是的函数，y=f(uleU,而u是x的函数 u=p(x,x∈D,并且o(x)的值域包含f(u)的定义 域，即p(x)∈U,x∈D,则y通过u的联系也是x的函 数，称此函数是由y=四)及=o(x)复合而成的复合 函数，记作y=fIp(x儿， 并称x为自变量，称为中间变量， 例8分析函数y=c0s2-~是由哪几个函数复合而成. 解 函数y=c0s2x-1是由y=c0su,u=2"和v=x-1 复合而成，并易知其定义域为（一∞，+∞） 前页后页结束
前页 后页 结束 定义 设y是u的函数，y = f (u)， ，而u是x的函数 ，并且 的值域包含f (u)的定义 域，即 ，则y 通过u 的联系也是x的函 数，称此函数是由y =f(u) 及 复合而成的复合 函数，记作 u x x D = ( )， uU ( ) x U x D ， (x) u =(x) 1.1.3 复合函数 并称 x 为自变量，称 u 为中间变量. y f x = [ ( )], 例8 分析函数 是由哪 几个函数复合而成. 1 cos2x y − = 解 函数y = cos2 x−1 是由 y = cosu， 2 1 v u v x = = − 和 复合而成,并易知其定义域为 ( , ) − +