《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第五章 相似矩阵及二次型 第二节 方阵的特征值与特征向量

第二节方阵的特征值与特征向量 线性代教

第二节 方阵的特征值与特征向量

特征值与特征向量的概念 定灯设A是n阶矩阵如果数2和n维 非零列向量使关系式 Ax=Ax 成立那么这样的数称为4的特征值 非零向量称为方阵的对应与特征 的特征向量。 说明1.特征向量≠0，特征值问题 是对方阵而言的

一、特征值与特征向量的概念 设A是n阶矩阵, 如果数和n维 非零列向量x使关系式 成立，那么，这样的数 Ax = x 称为A的特征值， 非零向量x 称为方阵A的对应与特征值 的 定义1 特征向量。 说明 1. 特征向量x  0,特征值问题是 是对方阵而言的

(2)由定义Ax=2x→(A-2E)x= 0 一个齐次方程组阶方阵A的特征橄 就是使A-E)x=0有非零解的龇 时的解向就是4的对应于该特征值 特征向量。 (3)(A-E)x=0是n元n个方程的) 程组，有非零解的充分必要是 A-E=0 (回看克拉默法

(2)由定义 Ax = x 此 n阶方阵A的特征值 (A− E)x = 0 一个齐次方程组， 特征向量。 时的解向量 就是使(A− E)x = 0 有非零解的值; (3) (A−E)x = 0 (回看克拉默法则) 有非零解的充分必要条件 是 是n元n个方程的方 A− E = 0 程组, 就 是A的对应于该特征值的

3.A-E=0 011-2 12 n L21 022-九 Q2n =0 Anl 称以2为未知数的一元n次方程A-2E=0 为A的特征方程. 记f(2)=A-E,它是的n次多项式称其 为方阵A的特征多项式

3. A − E = 0  0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − −    n n nn n n a a a a a a a a a        称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式

4.设n阶方阵A=(4)的特征值为入，2，. 2n,则有 (1)九1+22+.+九m=11+422+.+0m (2)2乙2.九n=A. 例已郎阶矩阵A的特征值为，2,3，证明A可逆并求A* 解 A =1×2×3=6≠0， 。 A可逆， 4"=44- 又A=AA=6A=63A =63A=63×61=36

( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij  =    (1) ; 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12  n = A 例1 已 知3阶矩阵A的特征值为1，2，3, 证明A 可逆 .  并求A 解  A = 123 = 6  0,  A可逆，  −1 又A = A A 1 6 − = A 3 1 6 − = A 3 1 6 − = A 3 1 6 6 − =  = 36. * −1 A = A A

二、特征值与特征向量的求法 例1求4-( 的特征值和特征向量. 解A的特征多项式为 4-E= 3-2-1 13-2=3-2-1 =8-62+22=(4-2)(2-2) 所以A的特征值为21=2,22=4

解 例1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量      − − A = A的特征多项式为   − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = −  +  = −  −  2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = 二、特征值与特征向量的求法 A− E =

当11=2时，对应的特征向量应满足 即 X1-x2=0, -x1+x2=0. 解得x1=x2,所以对应的特征向量可取为P1 当2=4时，由 3-4 -1 -01-0

   − + = − = 0. 0, 1 2 1 2 x x x x 即 , 解得x1 = x2 . 1 1 1       所以对应的特征向量可取为 p = , 0 0 1 1 1 1 , 0 0 1 3 4 3 4 1 4 , 2 1 2 1 2        =            − − − −        =            − − − − = x x x x 即 当 时 由 , 0 0 1 3 2 3 2 1 2 , 2 1 1        =            − − − − = x x 当 时 对应的特征向量应满足

解得x1=一x2,所以对应的特征向量可取为 P2= -1 -110 例2求矩阵A= -43 0的特征值和特征向量， 、102 解A的特征多项式为 -1-λ 0 A-AE= -4 3- 0 =(2-2)1-2)2, 1 02-

例２ . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 求矩阵 的特征值和特征向量   −− A = 解 (2 )(1 ) , 1 0 2 4 3 0 1 1 0 2       = − − − − − − − A − E = A的特征多项式为. 11 , 2 1 2   − = = − p 解得 x x 所以对应的特征向量可取为

A-2E=(2-元)1-2)2 所以A的特征值为九1=2,22=23=1. 当21=2时，解方程(A-2E)x=0.由 7-310 A-2E= -41 - 0 、100 00 0 得基础解系 P1= 0 所以kP(k≠0)是对应于1=2的全部特征值

, 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 4 1 0 3 1 0 2 ~                     − − A − E = , 1 0 0 1           得基础解系 p = ( 0) 2 . 所以k p1 k  是对应于1 = 的全部特征值 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由 2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 = 2 A− E = (2 − )(1− )

当2=3=1时，解方程(A-E)x=0.由 -21 0 01 A-E= -4 2 0 0 2 10 0 0 -1 得基础解系 P2= -2 所以kp2(k≠0)是对应于人2=13=1的全部特征值 -211 例3设A= 020,求A的特征值与特征向量. -413

( 0) 1 . 所以k p2 k  是对应于 2 =  3 = 的全部特征值 , 1 2 1 2           − − 得基础解系 p = , 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 0 1 4 2 0 2 1 0 ~                     − − A − E = 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 例３ 设 , 4 1 3 0 2 0 2 1 1           − − A = 求A的特征值与特征向量．