《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第二章 矩阵及其运算（习题课）

第二章习题课 线性代教

第二章 习题课

本章的基本要求 (1).理解矩阵的概念 零矩阵， 对角矩阵， 掌握 单位矩阵， 线性运算， 对称矩阵。 矩阵的转置， (2).熟练掌握矩阵的各镰 矩阵的乘法， 方阵的行列式

一 本章的基本要求 (1). (2).理解矩阵的概念， 掌握        零矩阵， 对角矩阵， 单位矩阵， 对称矩阵。        熟练掌握矩阵的各种运算 线性运算， 矩阵的乘法， 矩阵的转置， 方阵的行列式

(3).熟练掌握以上运算的规特别是矩阵 法中特殊的内容。 (4理解可逆矩阵的概胜质极矩阵可逆的要 条件理解伴随矩懶概念和它的性谢屋用作 随矩猷矩阵的逆阵。 (5).了解分块矩阵与运算规驻要掌握分块相 矩和行向量组列重组。 二 本章基本内容 1.矩 矩阵的定由m×n个数蜒j二2m 排成的m行n列的数表记作

(3).熟练掌握以上运算的运算规律， (4). 理解可逆矩阵的概念，性质 求矩阵的逆阵。 特别是矩阵乘 条件， 及矩阵可逆的充要 理解伴随矩阵的概念和它的性质， (5). 掌握用伴 随矩阵 法中特殊的内容。 了解分块矩阵与运算规律， 和行向量组列向量组。 主要掌握分块对角 矩阵 二 本章基本内容 1. 矩阵(1)矩阵的定义:由mn个数aij i = 1,2,  ,m ｛ j = 1,2,  ,n ｝ 排成的m行n列的数表，记作

11 12 ain 称为一个m×n矩阵 A= u21 M22 02n 简记为A=(ai)mxn, m×n个数称为矩阵 aml am2 的元素数ai位于矩 A的的行第列，称为矩阵的i,)元。 (2)n阶方矩阵行数与列数篝五的矩称为1 阶方矩記作A (3) 行矩阵只有一行的矩嫩=(41,42，.，4n) (4) 列矩阵只有一列的矩=(b1,b2,.,bn)

              = a a a n A 11 12  1 21 a a22  a2n  a m1 称为一个mn 矩阵， a m2  a mn 简记为 ( ) , A = aij mn 的元素， mn个数称为矩阵A 数aij位于矩阵 A的的i行第j列，称为矩阵A的(i, j)元。 (2) n阶方矩阵：行数与列数都等于n的矩阵 (3) 行矩阵: 称为n 阶方矩阵, . 记作An 只有一行的矩阵, ( , , , ) A= a1 a2  an (4) 列矩阵:只有一列的矩阵, T B b b bn ( , , , ) = 1 2 

(5) 零矩阵元素都是零的矩随作O (6 同型矩阵Anxn Emn ,称为同型矩阵 (7) 矩阵相等如果A=(a)mxn与B=(bj)nxn 为同型矩阵且对应的元素相=b (i=1,2,.m;j=1,2,.n),则称矩号矩 阵B相等，记作A=B(注意零矩阵相等 (8) 对角矩阵 A= diag(,.n) 为对角矩阵

(5) 零矩阵：元素都是零的矩阵，记作O (6) 同型矩阵: Amn Bmn 称为同型矩阵。 (7) 矩阵相等： A= aij mn B = bij mn 如果 ( ) 与 ( ) 为同型矩阵，且对应的元素相等，即aij = bij (i = 1,2, m；j = 1,2, n), 则称矩阵A与矩 阵B相等，记作A = B (注意零矩阵相等) (8) 对角矩阵：               = n A    2 1 为对角矩阵， O O ( , ) = diag 1 n

(8)单位矩阵阶方阵 称为n阶)单位矩阵 2矩阵的运其运算规律 ()矩阵加法（定义略其运算规律如下 (0) 结合律A+(B+C)=(A+B)+C 交换律A+B=B+A )减法为A-B=A+(-B) A=(4),一A=（-为A的负矩阵

( 8 ) 单位矩阵：   = 1 1 1  E n阶方阵O O 称 为( n 阶)单 位( 矩) 阵. 2 矩阵的运算 (1) 矩阵的加法: 及其运算规律 （定义略）其运算规律如下： 结合律： 交换律： 减法为： ( ⅰ ) A + ( B + C ) ( ⅱ ) ( ⅲ ( A + B ) + C ) = A+ B= B+ A A− B = A+ (−B) ( ), A= aij ( ) ij − A = − a 为A的负矩阵

(2)数与矩阵的乘定义路其运算规律如 I)(2四A=元(A), 2)(2+四)A=2A+A, 3)λ(A+B)=2A+2A. (3)矩阵与矩阵的乘锭义略豳 注意作乘法的条件吸结果的行数与 与列数的确xB三 可作乘法的条件 乘法不满足交换即一般情形下 ) AB≠BA

( 2 ) 数与矩阵的乘法：(定义略) ( )A 其运算规律如下： = (A), ( + )A ⑴⑵ = A+ A, ⑶ (A+ B)= A+ A. 注意 作乘法的条件以及 (3) 矩阵与矩阵的乘法：(定义略) = C . ㈠ 与列数的确定：AmsBsn 结果矩阵的行数与 可作乘法的条件 mn ㈡ 乘法不满足交换律， AB 即 一般情形下  BA

若AB=O,不一定角=OorB=O,从而有 当AX=A时不能想当然地有=Y. 矩阵乘耘算规律： ①店 结合律：MB)C=A(BC) ②分配律(B+C)=AB+AC, (B1+C1)A=B141+C141 2(AB)=(2A)B=A(1B),（为数) (4) 矩阵嵊幂设A是n阶方阵锭义A=A, A2=AA,Ak+1=AK4,(k为正整数 AA.A 称为A的k次方幂。 矩阵的幂运算规律

若AB = O ，不一定有A = OorB = O, 从而有 当AX = AY时，不能想当然地有 ㈢ X = Y. 矩阵乘法运算规律： ① 结合律：(AB)C = A(BC) ② 分配律：A(B + C)= AB + AC, 1 1 1 (B +C )A , = B1A1 +C1A1 (AB)= (A)B= A(B),（为数） (4) 矩阵的乘幂: 设A是n阶方阵，定义 , 1 A = A , 2 1 1 A = A A , , 1 1 A A A k k = + (k为正整数) k k A = AA A 称为A的k次方幂。 矩阵的幂运算规律：

①AKA=A ② (Ak)'=A,(其中k,均为正整数 ③ 当A,B可交换时， (AB)k=AkBk 有(A士B)2=A2±2AB+B2 (A+B)(A-B)=A2-B2, 否则 (AB)K≠AKBK, 有(A士B)2≠A2±2AB+B2 (A+B)(A-B)≠A2-B2

= k l A A , k l A + k l ( A ) , kl = A (其 中 k,l均为正整数)  = k (AB) 有 当A,B可交换时， ①②③ , k k A B 2 (A B) 2 , 2 2 = A  AB + B (A+ B)(A− B) , 2 2 = A − B 否则   k (AB) 有 , k k A B 2 (A B) 2 , 2 2  A  AB + B (A+ B)(A− B) , 2 2  A − B

(⑤)矩阵的转置定义略其运算规律如下： 1 (AT)T=A, 2 (A+B)T-AT+BT, 3 (AB)=BTAT (443.4n=AnA71.4T, 4 (24=(4A0T (6)方阵的行列式定义略其运算规律如下： 1 AT 4, (7)共轭矩阵： 2 2A=2”A,(A为n阶方阵 略 3 AB=A*B

( 5 ) 矩阵的转置：(定义略) T T (A ) = A, T (A+ B) , T T = A + B T (AB) , T T = B AT A A An ( ) 1 2 , 1 1 T T n T = An A − A T (A) 其运算规律如下： ⒈⒉⒊⒋ ( ) , T =  A 方阵的行列式： TA = A, A (6) (定义略)其运算规律如下： ⒈⒉ A, n =  (A为n阶方阵) ⒊ AB = A * B , (7)共轭矩阵： 略