《线性代数》课程教学资源（试卷习题）模拟题1（含答案）

模拟题一 解答 一填空题（每小题3分，共24分） 1.自然数从小到大为标准次序，则排列32514的逆序数为5· 2.若A、B均为n阶可逆阵，且满足AXB=E(E为n阶单位阵)，则矩阵AB 3.设向量组41=(111)，2=(1,2,3)，4=(3,4，)，则当1=5,1,2，a线性相关。 4.若n阶方阵可逆，则A的秩R(A)=n· [2x+x2+x3=0 5.当1=2或1，方程组x+x2+x3=0有非零解 X,+x,+2x3=0 6,若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且(AB)=BA。 7,如果n阶矩阵A满足A「A=E,则称A为正交矩阵· (1-20 8.二次型f=x2-3z2-4xy+y2的矩阵A=-20支 (0÷-3 二解答题（共64分） x aaa 1.计算D,=xa aa x a (8分) aaa x x+3a aa a I aaa 10 解D,=F+3如xa x+3a a x a =(x+3a)x aa =(x+3a)x-a 0 0 1 a x a 10x-a 0 x+3a a ax 1 aa x 10 =(x+3ax-a)3

模 拟 题 一 解 答 一 填空题（每小题３分，共２４分） １．自然数从小到大为标准次序，则排列 32514 的逆序数为 ５ ． ２．若 A、B 均为 n 阶可逆阵，且满足 AXB = E(E 为 n 阶单位阵），则矩阵 −1 −1 A B ． ３．设向量组 (1,1,1), (1,2,3), (3,4, ) 1 2 3  =  =  = t ，则当 t = ５， 1 2 3  , , 线性相关． ４．若ｎ阶方阵可逆，则 −1 A 的秩 = − ( ) 1 R A n ． ５．当  = -2 或 １ ，方程组      + + = + + = + + = 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    有非零解． ６．若 A, B 为同阶矩阵且均可逆，则 AB 也可逆，且 = −1 (AB) −1 −1 B A ． ７．如果 n 阶矩阵 A 满足 A A E T = ，则称 A 为 正交矩阵 ． ８．二次型 f = x − 3z − 4xy + yz 2 2 的矩阵 A =           − − − 0 3 2 0 1 2 0 2 1 2 1 ． 二 解答题 （共６４分） １．计算 a a a x a a x a a x a a x a a a D4 = ． （８分） 解 x a x a x a x a a a x a x a x a a a a a x a x a a a x x a a x a x a x a a x a a a a D − − − = + = + + + + + = 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ( 3 ) 1 1 1 1 ( 3 ) 3 3 3 3 4 3 = (x + 3a)(x − a)

(111123) 2.设矩阵A=-111B=221 1-11343 求(1)A+2B(4分) (2)AB(6分)(3)B-(10分) 357 687八 )A+2B=353(2)AB=441 777 245 (13-2 (3)B=-是-3 11-1 3.已知向量组a1=(11,2,2),a2=(0,2,15),a=(2,0,3-1),a4=(11,0,4). 求(1)向量组的秩。(2)判定向量组的线性相关性.(3)求列向量组的一个最大无关组.(9分) (1122)(1122)(1122 0215 0215 (1) a =0215 203-10-2-1-50000 1104 00-22 00-22 向量组的秩R(a1,a2,4,a)=3 (2)该向量组线性无关. (3)最大无关组为a,a,a{ x1+x2-3x3-x4=1, 4.求非齐次线性方程组3x1-x2-3x+4x4=4,的通解.（12分) x,+5x2-9x3-8x4=0. (11-3-11)11-3-11)11-3-11 增广矩阵B=3-1-344~0-4671~0-4671 15-9-8004-6-7-1(00000 11-3-1110-号) ~01-01-子- 0000000000 R(A)=R(B)=2,方程组有解

２．设矩阵           =           − = − 3 4 3 2 2 1 1 2 3 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A B ． 求（１） A + 2B （４分） （２） AB （６分） （3） −1 B （１０分） ． 解 2 4 5 4 4 1 6 8 7 (2) 7 7 7 3 5 3 3 5 7 (1) A + 2B = AB =           − − − − = − 1 1 1 3 1 3 2 (3) 2 5 2 1 3 B ． ３．已知向量组 T T T T (1,1,2,2) , (0,2,1,5) , (2,0,3, 1) , (1,1,0,4) 1 =  2 =  3 = −  4 = ． 求（１）向量组的秩．（２）判定向量组的线性相关性．（３）求列向量组的一个最大无关组．（９分） 解 （１）               −               − − − −               − =               0 0 2 2 0 0 0 0 0 2 1 5 1 1 2 2 ~ 0 0 2 2 0 2 1 5 0 2 1 5 1 1 2 2 ~ 1 1 0 4 2 0 3 1 0 2 1 5 1 1 2 2 4 3 2 1 T T T T a a a a ． 向量组的秩 R(a1 ,a2 ,a3 ,a4 ) = 3． （２） 该向量组线性无关． （３） 最大无关组为 T T T a1 a2 a4 , , ． ４．求非齐次线性方程组      + − − = − − + = + − − = 5 9 8 0． 3 3 4 4, 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 的通解．（１２分） 解 增广矩阵      − − − − − −      = 0 4 1 8 4 1 9 3 3 5 1 1 1 3 1 B ～      − − − − − −      1 1 1 7 7 1 6 6 3 4 4 1 0 0 1 ～     − −  −      0 1 1 0 7 1 0 6 3 0 4 1 0 0 1 ～      − − − − −      0 1 0 1 0 3 0 1 1 0 0 1 4 1 4 7 2 3 ～      − − − −      0 0 0 0 1 0 0 0 1 4 1 4 5 4 7 4 3 2 3 2 3 R(A) = R(B) = 2 ，方程组有解．

在方程组=-+中， x2=x3+2x4- 取x=x=0,则得方程组的一个解n= 0 在临长头轻中风份)-日间 x2=2x3+子x4 则齐次方程组的基础解系为 121 于是通解为 400 5,已知矩阵A=031 013 (1)求A的特征值和特征向量.(9分). (2)求正交矩阵P,使PAP为对角矩阵 (6分) 4-元00 解(1)4-=0 ga-4小e-m- 013-2 特征值为入=2,2=入=4. 当=2时，解方程011x0得x=1 01以xo(x- 0） 取单位特征向量即，= 当元2=入3=4时，由

在方程组    = + − = − + 4 1 4 4 7 2 3 3 2 4 5 4 4 3 2 3 3 1 x x x x x x 中， 取               − = = = 0 0 0, 4 3 4 5 * x3 x4 则得方程组的一个解 ． 在对应的齐次方程组    = + = − 4 4 7 2 3 3 2 4 4 3 2 3 3 1 x x x x x x 中，取                 =        1 0 0 1 4 3 及 x x ， 则齐次方程组的基础解系为              − =               = 1 0 , 0 1 4 7 4 3 2 2 3 2 3  1  ． 于是通解为 1 4 3 2 1 c x x x x =                             − +              − +               0 0 1 0 0 1 4 1 4 5 4 7 4 3 2 2 3 2 3 c ． ５．已知矩阵           = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A （1） 求 A 的特征值和特征向量．（９分）． （2） 求正交矩阵 P， 使 P AP −1 为对角矩阵 （６分）． 解 （１） 2 (2 )(4 ) 1 3 3 1 (4 ) 0 1 3 0 3 1 4 0 0          = − − − − = − − − − A− E = ． 特征值为 1 = 2,2 = 3 = 4． 当 , 1 1 0 , 0 0 0 0 1 1 0 1 1 2 0 0 2 , 3 2 1 3 2 1 1           − =                     =                     = k x x x x x x  时 解方程 得             − = 2 1 2 1 1 0 取单位特征向量p 当 2 = 3 = 4 时，由

g0的-e9 010 于是，正交矩阵P= 方0方 -方0 三 证命题（每小题6分，共12分） 1.设b=a1,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a,且向量组a1,a2,a,线性无关， 证明向量组，b2,b,线性无关. 证明设有x,x2,x3使xb+x2b2+xb=0, 即(x1+x2+x)a1+(2+x)a2+xa3=0, x1+2+x3=0 因线性a1,a2,a,无关，故有 3+x3=0 x3=0 111 该方程的系数行列式011=1≠0，故方程组只有零解x,=x2=x=0 001 所以向量组b,b2,b线性无关。 2.设A、B都是n阶矩阵，且4≠0，证明AB与BA相似 证明因为A≠0，所以A可逆，即A存在。 A-(AB)A=(A-A)BA=EBA=BA 由定义可知AB与BA相似

,得 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 3 2 1           =                     − − x x x           +           =           1 1 0 0 0 1 2 3 3 2 1 k k x x x ， 取             =           = 2 1 2 1 2 3 0 , 0 0 1 p p ． 于是，正交矩阵 P =             − 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 ． 三 证命题 （每小题６分，共１２分） １．设 , , , b1 = a1 b2 = a1 + a2 b3 = a1 + a2 + a3 且向量组 1 2 3 a ,a ,a 线性无关， 证明向量组 1 2 3 b ,b ,b 线性无关． 证明 设有 x1 , x2 , x3使 x1b1 + x2b2 + x3b3 = 0， 即 (x1 + x2 + x3 )a1 + (x2 + x3 )a2 + x3a3 = 0 ， 因线性 1 2 3 a ,a ,a 无关，故有      = + = + + = 0 0 0 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 该方程的系数行列式 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 =  ，故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0 ． 所以向量组 1 2 3 b ,b ,b 线性无关． 2．设 A、B 都是 n 阶矩阵，且 A  0, ，证明 AB 与 BA 相似． 证明 因为 A  0, 所以 A 可逆，即 −1 A 存在． 而 A AB A = A A BA = EBA = BA − − ( ) ( ) 1 1 ． 由定义可知 AB 与 BA 相似．