傅里叶变换
傅里叶变换
第三讲 单位中激数
第三讲 单位冲激函数
单位冲激函数 傅里叶级数与傅里叶变换以不同形式反映了周期函数与 非周期函数的频谱特性，是否能够将离散频谱以连续频 谱的方式表现出来？ 这就需要引进单位冲激函数与广义傅氏变换。 在工程实际问题中，有许多物理现象具有一种脉冲 特征，他们在某一瞬间或某一点出现，如瞬时冲击 力、脉冲电流、质点质量等等，这些物理量均不能 用通常函数形式去描述
单位冲激函数 傅里叶级数与傅里叶变换以不同形式反映了周期函数与 非周期函数的频谱特性，是否能够将离散频谱以连续频 谱的方式表现出来？ 在工程实际问题中，有许多物理现象具有一种脉冲 特征，他们在某一瞬间或某一点出现，如瞬时冲击 力、脉冲电流、质点质量等等，这些物理量均不能 用通常函数形式去描述。 这就需要引进单位冲激函数与广义傅氏变换
1.单位冲激函数引入 引例：设有长度为的均匀细杆放在x轴的0，]上，其质量为m, 用pe(x)表示它的线密度，则有 m 0≤x≤e Pε(x) 0, 其他 当e一0时，p(G)=lpe()={ ，X=0 0 0,x≠0 且 p(x)dx m, 满足这两个条件的函数称为单位 冲激函数（δ函数狄拉克函数）
1.单位冲激函数引入 引例：设有长度为𝜺的均匀细杆放在𝒙轴的[𝟎,𝜺]上，其质量为𝒎, 用𝝆𝜺 (𝒙)表示它的线密度，则有 当𝜺→0时， 且 𝝆𝜺 𝒙 = ቐ 𝒎 𝜺 , 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝜺 𝟎, 其他 . 𝝆 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝜺→𝟎 𝝆𝜺 𝒙 = ቊ ∞, 𝒙 = 𝟎 𝟎, 𝒙 ≠ 𝟎 න −∞ +∞ 𝝆 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒎 ， 满足这两个条件的函数称为单位 冲激函数(𝜹函数\狄拉克函数)
2.单位冲激函数的概念 定义：（单位冲激函数，又称狄拉克 (Dirac)函数或函数) 满足：(1)当t≠0时，6(t)=0,(2)∫6(t)dt=1 6(t) limδe(t)=6(t) E→0 δ函数在现实生活中是不存在的的， 它是数学抽象的结果
2.单位冲激函数的概念 定义：（单位冲激函数，又称狄拉克（Dirac）函数或𝜹函数) 满足： (1)当𝐭 ≠ 𝟎时，𝜹 𝒕 = 𝟎, (2) ∞− +∞ 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟏 1 (t) t 𝑙𝑖𝑚 𝜀→0 𝛿𝜀 𝑡 = 𝛿(𝑡) 𝜹函数在现实生活中是不存在的的， 它是数学抽象的结果
3.单位冲激函数的性质 性质1（筛选性质）：设f(t)是定义在实数域R上的有界函数， 且在t=0处连续，则6(t)f(t)dt=f(0) 若f(t)在t点连续，则t6(t-to)f(t)dt=f(to) 性质2（偶函数性质）：δ(t)=δ(-t)
3.单位冲激函数的性质 若𝒇(𝒕)在𝒕𝟎点连续，则 ∞− +∞ 𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡0) 性质1（筛选性质）：设 𝒇(𝒕) 是定义在实数域 𝑹 上的有界函数， 且在𝒕 = 𝟎处连续，则∞− +∞ 𝛿 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(0) 性质2（偶函数性质）：𝜹 (𝒕)=𝜹 (−𝒕)
举例 例1：求下列积分： (1)()e-Jwtdt=e-1 (2(t)elotdt =elot1 (3-1)elat dt =ht ())elotdee-e 注：δ函数的积分是根据其性质得出，不是积分公式积出的
举例 例1：求下列积分： ∞−(1（ +∞ 𝜹(𝒕)𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 ∞−(2（ +∞ 𝜹(𝒕)𝒆 𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 ∞−(3（ +∞ 𝜹 𝒕 − 𝟏 𝒆 𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 ∞−(4（ +∞ 𝜹 𝒕 + 𝟐 𝒆 𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 = 𝒆 ቚ −𝒋𝝎𝒕 𝒕=𝟎 = 𝟏 = 𝒆 ቚ 𝒋𝝎𝒕 𝒕=𝟎 = 𝟏 = 𝒆 ቚ 𝒋𝝎𝒕 𝒕=𝟏 = 𝒆 𝒋𝝎 = 𝒆 ቚ 𝒋𝝎𝒕 𝒕=−𝟐 = 𝒆 −𝟐𝒋𝝎 注： 𝜹 函数的积分是根据其性质得出，不是积分公式积出的
基础练习 1.求下列积分： (16(ed=e=1 (2)6(t)el(o-2dt=e-2=1 (3》6t-引e-tdt爱=e (4)e-lofdt =e-at
基础练习 ∞−(1（ +∞ 𝜹 𝒕 𝒆 −𝒋(𝝎+𝟐)𝒕𝒅𝒕 ∞−(2（ +∞ 𝜹 𝒕 𝒆 𝒋(𝝎−𝟐)𝒕𝒅𝒕 ∞−(3（ +∞ 𝜹 𝒕 − 𝝅 𝟐 𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 ∞−(4（ +∞ 𝜹 𝒕 + 𝟔 𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 = 𝒆 ቚ −𝒋(𝝎+𝟐)𝒕 𝒕=𝟎 = 𝟏 = 𝒆 ቚ 𝒋(𝝎−𝟐)𝒕 𝒕=𝟎 = 𝟏 = 𝒆 ቚ −𝒋𝝎𝒕 𝒕= 𝝅 𝟐 = 𝒆 −𝒋𝝎 𝝅 𝟐 = 𝒆 ቚ −𝒋𝝎𝒕 𝒕=−𝟔 = 𝒆 𝒋𝟔𝝎 1.求下列积分：
4.单位冲激函数与单位阶跃函数的关系左 定义：设u(t)是单位阶跃函数，u(t)= 1,t>0 10,t<0 性质3（积分与导数性质）：6(d)dt=u(d), d[u(t)] dt =6()
4.单位冲激函数与单位阶跃函数的关系 定义：设𝒖(𝒕)是单位阶跃函数， 性质3（积分与导数性质）： 𝒖 𝒕 = ቊ 𝟏, 𝒕 > 𝟎 𝟎, 𝒕 < 𝟎 . න −∞ 𝒕 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒖 𝒕 , 𝒅[𝒖 𝒕 ] 𝒅𝒕 = 𝜹(𝒕)
5.单位冲激（6)1 函数的直角坐标表示 1.采用从原点出发长度为1的有向线段来表示； 2.有向线段的长度代表δ函数的积分值，称为冲激强度 ↑6(t) ↑6(t-to) ↑A6(t) 1A5(t-to) 1 (1) (A) (A) to t to t 冲激强度为1 冲激强度为A
5.单位冲激（𝜹）函数的直角坐标表示 1.采用从原点出发长度为1的有向线段来表示； 2.有向线段的长度代表𝜹函数的积分值，称为冲激强度 𝑡 (1) 𝜹(t) 𝑡 (𝐴) 𝑨𝜹(t) 𝑡 (1) 𝜹(t-𝑡0) 𝑡0 𝑡 (𝐴) A𝜹(t- 𝑡0) 𝑡0 冲激强度为1 冲激强度为A