拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
第七讲 拉普拉斯变换的应用
第七讲 拉普拉斯变换的应用
1拉普拉斯变换的应用 1、基本公式： I.x(t)函数 设x(s)=C[x(t)],则有[x'(t)]=sX(S)-x(0) C[x"(t)]=s2X(s)-sx(0)-x'(0). C[x"(t)]=s3X(s)-s2x(0)-sx'(0)-x"(0)
1.拉普拉斯变换的应用 1、基本公式： Ⅰ. 𝒙 𝒕 函数 设𝑿(𝒔)=𝓛 𝒙 𝒕 ，则有 𝓛 𝒙′ 𝒕 =𝐬𝑿 𝐬 − 𝒙 𝟎 . 𝓛 𝒙′′ 𝒕 =𝐬 𝟐𝑿 𝐬 − 𝒔𝒙 𝟎 − 𝒙′(𝟎). 𝓛 𝒙′′′ 𝒕 =𝐬 𝟑𝑿 𝐬 − 𝐬 𝟐𝒙 𝟎 − 𝐬𝒙 ′ 𝟎 − 𝒙′′(𝟎)
Ⅱ.y(t)函数 设Y(s)=C[y(t)],则有c[y(t)]=sY(s)-y(O) Cy'(t)]=s2Y(s)-Sy(0)-y(0): cy"'(t)]=s3Y(s)-s2y(0)-sy'(0)-y"(0) Cy4)(t)]=s4y(s)-s3y(0)-s2y(0)-sy"(0)-y"'(0)
Ⅱ. 𝒚 𝒕 函数 设𝒀(𝒔)=𝓛 𝒚 𝒕 ，则有 𝓛 𝒚′ 𝒕 =𝐬𝒀 𝐬 − 𝒚 𝟎 . 𝓛 𝒚′′ 𝒕 =𝐬 𝟐𝒀 𝐬 − 𝒔𝒚 𝟎 − 𝒚′(𝟎). 𝓛 𝒚′′′ 𝒕 =𝐬 𝟑𝒀 𝐬 − 𝐬 𝟐𝒚 𝟎 − 𝐬𝒚 ′ 𝟎 − 𝒚′′(𝟎). 𝓛 𝒚 (𝟒) 𝒕 =𝐬 𝟒𝒀 𝐬 − 𝐬 𝟑𝒚 𝟎 − 𝒔 𝟐𝒚 ′ 𝟎 − 𝒔𝒚 ′′ 𝟎 − 𝒚′′′(𝟎)
举例 例1.求解常微分方程 x"(t)-2x'(t)+2x(t)=2etcost x'(0)=x(0)=0 解： 令X(s)=C[x(t)],方程两边同时取拉氏变换： C[x'(t)]=sX(s)-x(0)=sX(s) C[x"(t)]=s2X(s-Sx(0)-x'(0)=s2X(s 方程变为52X-25Xs)+2x()=26品 -1 X(s)2 5-1 原方程的解为x(t)=te'sint
举例 例1. 求解常微分方程 𝒙 ′′ 𝒕 − 𝟐𝒙 ′ 𝒕 + 𝟐𝒙 𝒕 = 𝟐𝒆 𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒙 ′ 𝟎 = 𝒙 𝟎 = 𝟎 解: 令𝑿 𝐬 = 𝓛 𝒙 𝒕 ,方程两边同时取拉氏变换: 𝓛 𝒙′′ 𝐭 = 𝒔 𝟐𝑿 𝐬 − 𝒔𝒙 𝟎 − 𝒙 ′ 𝟎 = 𝒔 𝟐𝑿 𝐬 𝓛 𝒙′ 𝒕 = 𝒔𝑿 𝐬 − 𝒙 𝟎 =𝒔𝑿 𝐬 𝒔 𝟐𝑿 𝐬 -𝟐 𝒔𝑿 𝐬 +2𝑿 𝐬 = 𝟐 𝒔−𝟏 (𝒔−𝟏) 𝟐+𝟏 𝑿 𝐬 = 𝟐 𝒔−𝟏 [(𝒔−𝟏) 𝟐+𝟏] 𝟐 ， 原方程的解为𝒙 𝒕 = 𝒕𝒆 𝒕𝒔𝒊𝒏𝒕. 方程变为
举例 例2.求解常微分方程 y'-2y'+y=ey(0)=y(0)=0. 解：令Y(s)=cy(t)],方程两边同时取拉氏变换： C[y'(t)]=sY(s)-y(0)=sY(s) Cy'(t)]=s2Y(s)-Sy(0)-y(0)=s2Y(s) 方程变为s2Ys)-2sYs)+Y(9)=司 Y(s)=,原方程的解为vd=e 或Res[Y(s))et,1刂=limlest]"=ztet=y
例2. 求解常微分方程 𝒚 ′′ − 𝟐𝐲 ′ + 𝒚 = 𝒆 𝒕 ,𝒚(𝟎) = 𝒚′(𝟎) = 𝟎. 解: 令𝒀 𝐬 = 𝓛 𝐲 𝒕 ，方程两边同时取拉氏变换: 𝓛 𝐲′′ 𝐭 = 𝒔 𝟐𝒀 𝐬 − 𝒔𝒚 𝟎 − 𝒚 ′ 𝟎 = 𝒔 𝟐𝒀 𝐬 𝓛 𝐲′ 𝐭 = 𝒔𝒀 𝐬 − 𝒚 𝟎 = 𝐬𝒀 𝐬 𝒔 𝟐𝒀 𝐬 − 𝟐 𝐬𝒀 𝐬 + 𝒀 𝐬 = 𝟏 𝒔−𝟏 𝒀 𝐬 = 𝟏 (𝒔−𝟏) 𝟑 , 原方程的解为𝐲 𝒕 = 𝟏 𝟐 𝒕 𝟐𝒆 𝒕 . 或𝑹𝒆𝒔[𝒀 𝐬 𝒆 𝒔𝒕 ，𝟏] = 𝟏 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒔→𝟏 𝒆 𝒔𝒕 ′′ = 𝟏 𝟐 𝒕 𝟐𝒆 𝒕 = 𝒚(𝒕) 举例 方程变为
举例 例3.求解常微分方程 y"-3y"+3y-y=-1. y(0)=2,y"(0)=y(0)=1 解：令Y(s)=C[y(t)方程两边同时取拉氏变换： C[y(t)]=sY(S)-y(0)=sY(s)-2 Cy'(t)]=s2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s2Y(s)-2s-1 cy"(t)]=s3Y(s)-s2y(0)-Sy'(0)-y'(0) =s3Y(s)-2s2-s-1
举例 例3. 求解常微分方程 𝐲 ′′′ − 𝟑𝐲 ′′ + 𝟑𝐲 ′ − 𝒚 = −1. 𝒚(𝟎) = 𝟐,𝐲 ′′ 𝟎 = 𝒚′(𝟎) = 𝟏 解: 𝓛 𝐲′′′ 𝐭 = 𝒔 𝟑𝒀 𝐬 − 𝒔 𝟐𝒚 𝟎 − 𝒔𝒚 ′ 𝟎 − 𝒚 ′′ 𝟎 𝓛 𝐲′′ 𝐭 = 𝒔 𝟐𝒀 𝐬 − 𝒔𝒚 𝟎 − 𝒚 ′ 𝟎 = 𝒔 𝟐𝒀 𝐬 − 𝟐𝒔 − 𝟏 𝓛 𝐲′ 𝐭 = 𝒔𝒀 𝐬 − 𝒚 𝟎 = 𝐬𝐘 𝐬 − 𝟐 令𝒀 𝐬 = 𝓛 𝐲 𝒕 方程两边同时取拉氏变换: = 𝒔 𝟑𝒀 𝐬 − 𝟐𝒔 𝟐 − 𝒔 − 𝟏
原方程变为： s3Y(s)-2s2-s-3s2Y(s)+6s+3sYs)-4-Y(s)= 整理得：(s3-3s2+3s-1)Y句=1+2s2-55+4 S 8-1)3Y)=-1+2s3-5s2+45 S s3-1+s(s2-5s+4)1, 1 Y(S)= S(5-1)3 S S-1 原方程的解为y(t)=1+e
(𝒔 𝟑−𝟑𝒔 𝟐 + 𝟑𝐬 − 𝟏)𝒀 𝐬 = −𝟏 𝒔 + 𝟐𝒔 𝟐 − 𝟓𝒔 + 4 (𝒔 − 𝟏) 𝟑𝒀(𝒔) = −𝟏 + 𝟐𝒔 𝟑 − 𝟓𝒔 𝟐 + 𝟒𝒔 𝒔 原方程的解为y 𝒕 = 𝟏 + 𝒆 𝒕 . 𝒀(𝒔) = 𝒔 𝟑 − 𝟏 + 𝒔(𝒔 𝟐 − 𝟓𝒔 + 𝟒) 𝒔(𝒔 − 𝟏) 𝟑 = 𝟏 𝒔 + 𝟏 𝒔 − 𝟏 整理得： 𝒔 𝟑𝒀 𝐬 − 𝟐𝒔 𝟐 − 𝒔 − 𝟑𝒔 𝟐𝒀 𝐬 + 𝟔𝒔 + 𝟑 𝐬𝒀 𝐬 − 4 − 𝒀 𝐬 = −𝟏 𝒔 原方程变为：
基础练习 1.求解微分方程y”+3y'+y=3cost, y(0)=0,y(0)=1. 解：设cy(t)]=Y(s),对方程两边取拉氏变换， C[y'(t)]=sY(s)-y(0)=sY(s), cy'(t]=s2Y(s)-sy(0)-y(0)=s2Y(s)-1 3s 方程变为s2Y(s)-1+3sY(s)+Y(s)= s2+1 s2+3s+1)Y=3 s+s2+1 s2+1 1 Y(s)=s2+1 原方程的解为y(t)=sint
基础练习 1.求解微分方程𝒚 ′′ + 𝟑𝐲 ′ + 𝒚 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒚(𝟎) = 𝟎,𝒚′(𝟎) = 𝟏. 解：设𝓛[𝒚(𝒕)] = 𝒀(𝒔), 𝓛[𝒚 ′′ 𝒕 ] = 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝒔𝒚 𝟎 − 𝒚 ′ 𝟎 = 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝟏 对方程两边取拉氏变换， 𝓛 𝐲′ 𝐭 = 𝒔𝒀(𝒔) − 𝒚 𝟎 = 𝒔𝒀(𝒔), 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝟏 + 𝟑𝒔𝒀 𝒔 + 𝒀 𝒔 = 𝟑𝒔 𝒔 𝟐 + 𝟏 (𝒔 𝟐+𝟑 𝐬 + 𝟏)𝒀 𝒔 = 𝟑𝒔 + 𝒔 𝟐 + 𝟏 𝒔 𝟐 + 𝟏 𝒀 𝒔 = 𝟏 𝒔 𝟐 + 𝟏 , 原方程的解为𝒚(𝒕) = 𝒔𝒊𝒏𝒕. 方程变为
举例 例4.求解常微分方程组 x'(t)+x(t)-y(t)=et,x(0)=y(0)=1. y'(t)+3x(t)-2y(t)=2et 解：令X(s)=c[x(t)],Y(s)=C[y(t)]对方程两边取拉氏变换： C[x'(t)]=sX(s)-x(0)=sX(s)-1 c[y(t)]=sY(s)-y(0)=sY(s)-1 方程组变为 sX)-1+X)-Ys)=吉 ① sYs-1+3xs)-2Ys)=后 ②
举例 例4. 求解常微分方程组 ൝ 𝒙 ′ 𝒕 + 𝒙 𝒕 − 𝒚 𝒕 = 𝒆 𝒕 𝒚 ′ 𝒕 + 𝟑𝒙 𝒕 − 𝟐𝒚 𝒕 = 𝟐𝒆 𝒕 ，𝒙 𝟎 = 𝐲 𝟎 = 𝟏. 解: 令𝐗 𝐬 = 𝓛 𝒙 𝒕 , 𝐘 𝐬 = 𝓛 𝒚 𝒕 对方程两边取拉氏变换： 𝓛 𝒚′ 𝐭 = 𝒔𝒀 𝐬 − 𝒚 𝟎 = 𝐬𝒀 𝐬 − 𝟏 𝓛 𝒙′ 𝒕 = 𝒔𝐗 𝐬 − 𝒙 𝟎 = 𝒔𝐗 𝐬 − 𝟏 方程组变为 ൞ s𝑿 𝐬 − 𝟏 + 𝑿 𝐬 − Y 𝒔 = 𝟏 𝒔−𝟏 ① 𝐬𝒀 𝐬 − 𝟏 + 𝟑𝑿 𝐬 − 𝟐𝒀 𝐬 = 𝟐 𝒔−𝟏 ②