《线性代数》课程教学资源（试卷习题）模拟题2（含答案）

模拟题二 答案 一、填空（每空2分，共20分） 小2,3生405 6、BA,7、BT+A 8、6,9、±1 「1-20] 10、y= -2-31。 011 二、计算下列各题（共28分） x+3a aaa 1 aaa 1、解：D= x+3a x aa =(x+3am a x a 1 x aa x+3a a x a x+3a aa x 1 aa x 1 aaa =x+300x-aa a o 0 x-a a 00 a x-a =(x+3ax-a) (8分) 1-1012)-13 2、解：(1)AB=-1112-1=20 (6分) 0-1113-14 (2)BA= 121-10 -111= (-103 2-13儿0-1 (3-32 (6分) 232100110010 3、解：(4)→110010→232100 221001 221001

模 拟 题 二 答 案 一、填空（每空 2 分，共 20 分） 1、4 , 2、 A B −1 , 3、 2 1 − , 4、r(A)  n 5、 T ) 2 7 , 2, 2 1 (−1,− − 6、 −1 −1 B A , 7、 T T B + A 8、 6 , 9、 1, 10、 y =           − − − 0 1 1 2 3 1 1 2 0 。 二、计算下列各题（共 28 分） 1、解： x a a a x x a a x a x a x a a x a a a a D 3 3 3 3 + + + + = a a x a x a x a a a a a x a 1 1 1 1 = ( + 3 ) a x a x a a x a a a a a a x a − − − = + 0 0 0 0 0 1 ( 3 ) 3 = (x + 3a)(x − a) （８分） 2、解：（１） AB           − − − = 0 1 1 1 1 1 1 1 0           − 3 1 2 1 2 1           − − = 4 0 3 1 2 1 （６分） （２） B A            − − −         − = 0 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 3 1 2 1         − − = 3 3 2 1 0 3 （６分） 3、解：           → 2 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 2 3 2 1 0 0 (A,I)           → 2 2 1 0 0 1 2 3 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0

110010(110010 →0121-20→01012-2 (0010-21(0010-21 100-1-12) -1-12 →01012-2 A1=12-2 (8分) (0010-21 (0-21J 1310) (131 0 三、解：(a1,a2,a3,a4)= -121 1 0 52 21-1 0 -5-3 1 101-30-30-3 (1310) 1310)(1310 →0101 0101 0101 00-36 → 0-5-31 0012 052100-12 0000 (130-2 (100-5 →0101 0101 0012 → 0012 (0000 (0000 （1)向量组的秩.r(a1,42,a3,a4)=3 (2)该向量组是线性相关的. (3)向量组的一个最大无关组为a1,a2,a3 (4)a4=-5a1+42+2a (12分) 1-52-311)1-52-311 四、解：(4，b)=536-1-1→028-414-56 2421-6014-27-28 1-52-311 →1 1 -2 6。话8 (A)=(Ab)=2,方程组有解

          − → − 0 0 1 0 2 1 0 1 2 1 2 0 1 1 0 0 1 0           − → − 0 0 1 0 2 1 0 1 0 1 2 2 1 1 0 0 1 0           − − − − → 0 0 1 0 2 1 0 1 0 1 2 2 1 0 0 1 1 2           − − − − = − 0 2 1 1 2 2 1 1 2 1 A （８分） 三、解：               − − − = → → → → 1 0 1 3 2 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 0 ( , , , ) a1 a2 a3 a4               − − − − → 0 3 0 3 0 5 3 1 0 5 2 1 1 3 1 0               − − → 0 5 2 1 0 5 3 1 0 1 0 1 1 3 1 0               − − → 0 0 1 2 0 0 3 6 0 1 0 1 1 3 1 0               → 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 1 1 3 1 0               − → 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 1 1 3 0 2               − → 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 1 1 0 0 5 （１）向量组的秩． ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = 3 → → → → r a a a a （２）该向量组是线性相关的． （３）向量组的一个最大无关组为 → → → 1 2 3 a ,a ,a （４） = → 4 a → → → − 5a1 + a2 + 2a3 （１２分） 四、解：           − − − − − = → 2 4 2 1 6 5 3 6 1 1 1 5 2 3 11 (A, b)           − − − − − − → 0 14 2 7 28 0 28 4 14 56 1 5 2 3 11             − − − − → 0 0 0 0 0 2 2 1 7 1 0 1 1 5 2 3 11 ( ) = ( , ) = 2 → r A r A b ∴方程组有解

10 1 =-号++ -2 0 x3=X3 x4= 91 “方程组的通解 (12分) 4-200 五、解：(1)4-川=03-元1=(4-(2-61+8) 13-入 =(4-)2(2-) 故特征值入=2,2=3=4， 当2时曲。11日 0 解得1 -1 g4迪。10 01 月 （1)“A的线性无关得特征向量P= (10分 2001 (2)取矩阵 有 P-1AP=040 (6分) -101 004 六、证明题（每小题6分，共12分） (1)若A为n阶对称矩阵，B为n阶方阵，则B'AB为对称矩阵. 证：A=A(BAB)T=BA(B)T=BTAB BAB为对称矩阵

                − − − → 0 0 0 0 0 2 2 1 7 1 0 1 1 2 1 7 9 1 0          = = = − − = − + + 2 2 1 7 1 1 2 1 7 9 4 4 3 3 2 3 4 1 3 4 x x x x x x x x x x ∴方程组的通解               − +               − +              − = → 0 0 2 1 2 0 1 1 0 7 1 9 1 2 x c c （１２分） 五、解：（１）     − − − − = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A I (4 )( 6 8) 2 = −   −  + (4 ) (2 ) 2 = −  −  故特征值 2 , 1 = 4 , 2 = 3 = 当 2 1 = 时,由           =                     0 0 0 0 1 1 0 1 1 2 0 0 3 2 1 x x x 解得           − = → 1 1 0 p1 当 4 , 2 = 3 = 由           =                     − − 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 3 2 1 x x x 解得           = → 0 0 1 p2 ,           = → 1 1 0 p3 （１）∴ A 的线性无关得特征向量           − = → 1 1 0 p1 ,           = → 0 0 1 p2 ,           = → 1 1 0 p3 （１０分） （２）取矩阵           − =        = → → → 1 0 1 1 0 1 0 1 0 , , P p1 p2 p3 有 = − P AP 1           0 0 4 0 4 0 2 0 0 （６分） 六、证明题 （每小题６分，共１２分） （１）若 A 为 n 阶对称矩阵, B 为 n 阶方阵，则 B AB  为对称矩阵. 证： A = A T ∴ =  T (B AB) T T T B A (B )  B AB  = ∴ B AB  为对称矩阵

(2)设A2-3A-1=0,证明A可逆，并求A 证：由A2-3A-1=0得A(A-3)=1 ∴A可逆，且A1=A-31

（２）设 3 0 2 A − A− I = ，证明 A 可逆，并求 −1 A 证： 由 3 0 2 A − A− I = 得 A(A − 3I) = I ∴ A 可逆，且 −1 A = A−3I