模拟题二 一、填空（每空2分，共20分） 1·自然数从小到大为标准次序，则排列21543 的逆序数为 2,若A为n阶可逆方阵，且满足AX=B, 则矩阵X= 3.设4为3阶方阵且4=2，则兮 4.设A是m×n阶矩阵，则方程Ax=0有非零解的充分必要条件 是 5.设a=2.14,7),若4-6=3a+,则6=—、 6.若AB为同阶方阵，且均可逆，则(AB)= 7.若AB为同阶方阵，则(A+B)T= 8.如果3阶方阵A的特征值分别为1,2,3，则4= 9.如果方阵A为正交矩阵，则A= 10.二次型∫=x2-3y2+2-4xy+z的系数矩阵 A= 二、计算下列各题（共28分） x aaa 1.计算 D=a x aa (8分) aa x a aaa x （1-10)12) 2.设矩阵A=-111 B=2-1 (0-11 13 求 (1)AB (6分) (2)BA (6分) 线性代数模拟题二 第1页（共2页）
线性代数模拟题二 第 1页（共 2 页） 模 拟 题 二 一、填空（每空 2 分，共 20 分） １．自然数从小到大为标准次序，则排列 21543 的逆序数为 ． ２．若 A 为 n 阶可逆方阵，且满足 AX = B ， 则矩阵 X = . ３. 设 A 为 3 阶方阵,且 A = −2 ，则 − = )A A 2 1 ( . ４．设 A 是 mn 阶矩阵，则方程 → → A x = 0 有非零解的充分必要条件 是 ． ５．设 → a = (2,1,4,7) ，若 3( ) → → → → a− b = a+ b ，则 = → b . ６．若 A, B 为同阶方阵,且均可逆，则 = −1 (AB) . ７．若 A, B 为同阶方阵, 则 T (A + B) = . ８. 如果３阶方阵 A 的特征值分别为 1，2，3，则 A = ． ９．如果方阵 A 为正交矩阵，则 A = ． １０．二次型 f = x − 3y + z − 4xy + yz 2 2 2 的系数矩阵 A = . 二、计算下列各题 （共２８分） １．计算 a a a x a a x a a x a a x a a a D = （８分） ２． 设矩阵 , 0 1 1 1 1 1 1 1 0 − − − A = = − 3 1 2 1 2 1 B ． 求 （１） AB （６分） （２） B A （６分）
232 3. 设矩阵A 110 求A (8分) 221 三、己知向量组 1 3 1 0 -1 72 2 ,a2= a= 1 1) 3 求(1)向量组的秩. (2)判定向量组的线性相关性. (3)求向量组的一个最大无关组 (4)将其它向量用最大无关组线性表示.(12分) 四、(12分)判断方程组 x-5x2+2x3-3x4=11 5x+3x,+6x-x4=-1是否有解，若有解，求出通解。 2x1+4x2+2x3+x4=6 (400 五、己知矩阵A=031 (013 (1)求A的特征值和特征向量.(10分). (2)求可逆矩阵P,使P-AP为对角矩阵(6分). 六、证明题（每小题6分，共12分） (1)若A为n阶对称矩阵，B为n阶方阵，则BAB为对称矩阵. (2)设A2-3A-I=0,证明A可逆，并求A1 线性代数模拟题二第2页（共2页）
线性代数模拟题二 第 2页（共 2 页） ３． 设矩阵 , 2 2 1 1 1 0 2 3 2 A = 求 −1 A （８分） 三、已知向量组 − = → 1 2 1 1 a1 , = → 0 1 2 3 2 a , − = → 1 1 1 1 a3 , − = → 3 1 1 0 a4 求 （１）向量组的秩． （２）判定向量组的线性相关性． （３）求向量组的一个最大无关组． （４）将其它向量用最大无关组线性表示． （１２分） 四、（１２分） 判断方程组 + + + = − + + − = − − + − = 2 4 2 6 5 3 6 1 5 2 3 11 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 是否有解，若有解，求出通解． 五、已知矩阵 = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A （1） 求 A 的特征值和特征向量．（１０分）． （2）求可逆矩阵 P， 使 P AP −1 为对角矩阵 （６分）． 六、证明题 （每小题６分，共１２分） （１）若 A 为 n 阶对称矩阵, B 为 n 阶方阵，则 B AB 为对称矩阵. （２）设 3 0 2 A − A− I = ，证明 A 可逆，并求 −1 A