第三节向量组的秩 线性代教
第三节 向量组的秩
向量组的秩及最大线性无关向量组 定义5 设有向量纽，如果在A中能选出个 向量41,2，.，a,满足 ) 向量组4：1，a2,0,线性无关： (2) 向量组中任意r+1个向量如果4中有 r+1个向量的都线性相关那么称向量组 是向量纽的一个最大线性无关向量组（简称最 大无关组最大无关衡含向量的个数称为 向量组的秩起作R4·(只含零向量的向量 有最大无关组规定它的秩)
一、向量组的秩及最大线性无关向量组 定义5 设有向量组A，如果在A中能选出r个 向量1 ，2 ，，r 满足 （1）向量组A0 :1 ,2 , ,r线性无关； 都线性相关， （2）向量组A中任意r + 1个向量 r +1个向量的话) （如果A中有 的一个最大线性无关向量组 那么称向量组A0 是向量组A 大无关组); (简称最大 最大无关组所含向量的个数r 称为 向量组的秩， . 记作RA (只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定它的秩为0)
二、矩阵与向量组秩的关系 对于只含有限个向量量组A:41,42,.,4m, 它可以构成矩隙=(41,2，4m).我们来看看 向量组A的秩和它构成的矩的秩的关系。 定理6矩阵的等于它的列向癣秩， 也等于它的伺量组的秩 证设A=(41,.,4m),R(A)=r,并设r阶子式D,≠0. 根据4.2定理4由D,≠0知所在的列向量线性无 又由A中所有r+1阶子式均为零知A中任意
二、矩阵与向量组秩的关系 : , , , , 对于只含有限个向量的向量组A a1 a2 a m ( , , , ). 它可以构成矩阵A= a1 a2 a m 我们来看看 向量组A的秩和它构成的矩阵A的秩的关系。 定理6 等于它的列向量组 证 设A = (a1 , ,a m )，R(A) = r,并设r阶 根据4.2定理4由Dr 0知所在的 又 由A中所有r + 1阶子式均为零， 知A中任意 矩阵的秩 的秩， 也等于它的行向 量组的秩. r列向量线性无关； 0. 子式Dr
r+1个列向量都线性相函此D,所在的r列是 A的列向量的一个最誼所以列向量组的 等于r. 类似可证A的行向量组的秩也等R(A). 向量组a1,a2,am的秩也记作 R(a1,42.,4m: 从上述证明中可得下面个有用结论： 结论若D,是矩阵A的一个最高阶非零D, 所在的列即是列向量组的个最大无关组， D所在的行即是行向量组的一最既关组
向量组a1 ,a2 , ,am的秩也记作 若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式， ( , , , ). R a1 a2 a m 结论 类似可证A的行向量组的秩也等于R(A). A的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩 r + 1个列向量都线性相关. 从上述证明中可得下面一个有用结论： 因此Dr 所在的r列是 等于r. 则Dr 即是列向量组的一个最大无关 组， 即是行向量组的一个最大无关组. 所在的r列 Dr 所在的r行
说明 )最大无组一般不唯一； 举例说明如下： 例如在上节的例中 2 ,2 2 ,3 4 5 1 0 2 构成矩阵4=(41,2,3)= 1￥2 4 1 5
说明 （1）最大无关组一般不唯一; 举例说明如下： 例如在上节的例5中 , 7 4 2 , 5 2 0 , 1 1 1 1 2 3 = = a = a a ( , , ) 构成矩阵A= a1 a2 a3 , 1 5 7 1 2 4 1 0 2 =
由R(a1,42)=2,知a1,a2线性无关； 由R(a1,42,43)=2,知a13a2,3线性相关 因此a1,42是a1,42,a3的二个最大无关 此外，由R(a1,a3)=2及R(a2,a3)=2 可知a1,43和a2,43都是向量组41,42,43 的最大无关组。 下面我们再从一个例来看一看 例邮全体n维向量构成的向量组馆R", 求R的一个最大无关斑R”的秩
( , ) 2, 由R a1 a2 = 知a1 ,a2 线性无关； ( , , ) 2, 由R a1 a2 a3 = 知a1 ,a2 ,a3 线性相关， 因此a1 ,a2 是a1 ,a2 ,a3 的一个最大无关组。 此外，由R(a1 ,a3 ) = 2及R(a2 ,a3 ) = 2 可知a1 ,a3 和a2 ,a3 都是 1 2 3 向量组a ,a ,a 的最大无关组。 下面我们再从一个例子来看一看， 例8 , n 全 体n维向量构成的向量组记作R 求R n 的一个最大无关组及R n 的秩
那全体维向量构成的向量组饱R”,求R"的一个最大无关 及R"的秩。 解 已知n维单位坐标向量构成量组 (由上节例) E:e1,e2,em(看上节定瑶2)可知 是线性无关饰R"中的任意+1个向量都是线性相关 因此向量密是R"的一个最大无麴，R"的秩为n. 进一步讨论，设41,2，4n是R"中个线性无关的维向量 此向量组是否是歌”的一个最大无关组呢是的。为什么？ 由此向量组的任意性任何个线性无关维向量都m 的最大无关组。 显然，R”的最大无关组有很多
例8 , n 全 体n维向量构成的向量组记作R 求R n 的一个最大无关组 及R n 的秩。 解 已知n维单位坐标向量构成的向量组 n E : e ,e , ,e 1 2 是线性无关的，而R n 中的任意n +1个向量都是线性相关的 (看上节定理5（2）可知), 因此向量组E是R n 的一个最大无关组，R n. n的秩为 进一步讨论，设a1 ,a2 , ,an是R n 中n个线性无关的n维向量， 此向量组是否是R n 的一个最大无关组呢？是的。为什么？ 由此向量组的任意性知： n 任何n个线性无关的n维向量都是R 的最大无关组。 显然，R n的最大无关组有很多。 (由上节例4)
说明(2) 向量组与它的最大无关组是等价的： 4组是A组的兰个部分组： A组总能由A组线性表示 (我门得倒每锺最出璣漾硼该 向甄线性表示 又由定义5②)知对于A中任一向量， r+1个向量1，4，a线性相关而向量纟 41,.,a,线性无关，据定理s3)知u能由 1,《,线性表即A组能由4组线性表万 所以A组与A,组等价
说明 （2）向量组与它的最大无关组是等价的. A0 组是A组的一个部分组， ; A0 组总能由A组线性表示 (我们得到一个向 (A中每个向量都由 量 组的最大无A组线性表示 关组总可由) 该 又由定义5（2）知，对于A中任一向量a, r +1个向量a1 , ,ar ,a线性相关， a1 , ,ar 线性无关，据定理5（3）知 a1 , ,ar 线性表示，即A组能由A0 组线性表示。 所以A组与A0 组等价。 向量组线性表示) 而向量组 a能由
我们把该结论写出： 设向量组4是向量组4的一个部分组且线性无关， A是A的最大无关组→A与A等价。 此命题的逆命题也是或的，这]就得到下列结 推论最大无关组的等价定义 设向量组4：41，a,是向量组A的一个部分组，且满 (i)向量组4，线性无关； (ii)向量组A的任一向量都能曲线性表示， 那么向量组4，便是向量组4的一个最大无关组 证设必比较标票挺闻组驻年囊线性蝶 这r+1个向量能由向量组线性表示，再由上谢，有
我们把该结论如下写出： 设向量组A0是向量组A的一个部分组且A0线性无关， A0是A的最大无关组 A与A0等价。 此命题的逆命题也是成立的，这样我们就得到下列结 (也就是） 论： 推 论(最大无关组的等价定义) 设向量组A 0 : a 1,,a r 是向量组A的一个部分组，且满足 (ⅰ) 向量组A0 线性无关； ( ⅱ ) 向量组A的任一向量都能由A0 线性表示， 那么向量组A0 便是向量组A的一个最大无关组。 证 设 （与定义比较只要证向 , , , 是 量组中任意A中任意r1个向量，由条件知 +1个向量线性相关即可） b 1 b 2 b r + 1 A r + 这r +1个向量能由向量组A0线性表示，再由上节定理3，有
R(b1,b2,.,b+1)≤R(41,2,.,4,）=r, r+1>r,向量组1，b2,b+1线性相关。 因此向量组4，满足定5所规定的最大无关组件。 例设齐次线性方程组 1+2x2+x3-2x4=0, 2x1+3x2 -x4=0, x1-x2-5x3+7x4=0 的全体解向量构成的童组为S,求S的秩。 解 细癯数用萍随学的方法)
( , , , ) ( , , , ) , 1 2 1 1 2 R b b b R a a a r r+ r = r + 1 r, 向量组b1 ,b2 , ,br+1 线性相关。 因此向量组A0满足定义5所规定的最大无关组的条件。 例9 设齐次线性方程组 − − + = + − = + + − = 5 7 0 2 3 0, 2 2 0, 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x 的全体解向量构成的向量组为S,求S的秩。 解 （先解方程组，用前面 方程组的系数矩阵为所学的方法）