第五节向量空间 线性代教
第五节 向量空间
、 向量空间的概念 定义1设V为n维向量的集合，如果集合非空， 且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合V为向量空间. 说明 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指 若a∈V,B∈V,则x+B∈V; 若a∈V,∈R,则a∈V, 2.n维向量的集合是一个向量空间，记作R
说明 若 V, R, 则 V. 2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作 . n R 若 V, V, 则 + V; 一、向量空间的概念 定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． n V V V V 1．集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭指
例13维向量的全体R3,是一个向量空间 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量，数 乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3. 类似地，n维向量的全体R”,也是一个向量空 间
3 , 3 例 1 维向量的全体R 3 3 . 3 3 , 3 乘 维向量仍然是 维向量，它们都属于R 因为任意两个 维向量之和仍然是 维向量 数 . 间 类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空 是一个向量空间
例2判别下列集合是否为向量空间. Y={x=(0,x2,xn)x2,.,xn∈R} 解因为对于'的任意两个元素 a=(0,2,an)Y,B=(0,b2,bn)Y∈y, 有a+B=(0,a2+b2,4n+bny∈Y 2a=(0,m2,2mn）'∈y. 所以V是向量空间
例2 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 , , n 2 , , 解 . 所以V1 是向量空间 因为对于V1 的任意两个元素 ( ) ( ) T n T = 0,a2 , ,an , = 0,b2 , ,b V , 1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有 + = + n + n (0, , , ) . a2 a V1 T = n
例3判别下列集合是否为向量空间. 2={=(1,x,xnx2,.,x∈R 解 因为若a=(1,2,n）Y∈y2, 则2a=(2,22,.,2an)'eV2 V,不是向量空间
例3 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 , , n 2 , , 解 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则 = n V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 = n
例4设a,b为两个已知的n维向量，集合 V={x=M+b2,4∈R 试判断集合是否为向量空间. 解V是一个向量空间因为若1=M+山b x2=九2a+2b,则有 x1+x2=(21+2)a+(41+42)b∈V, k1=(k2)a+(k4)b∈V. 这个向量空间称为由向量α，b所生成的向量空 间
例 4 设a,b为两个已知的n维向量，集合 V = x = a + b, R 试判断集合是否为向量空间. 解 V是一个向量空间.因为若x1 = 1a + 1b x2 = 2a + 2b， 则有 ( ) ( ) , x1 + x2 = 1 + 2 a + 1 + 2 b V ( ) ( ) . kx1 = k1 a + k1 bV . , 间 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空
般地，由向量组a1,2,.,4m所生成的向量空 间为 V={c=元1a1+22+.+n0m21,2,2m∈R 例5 设向量组a1,.,am与向量组b1,.,b,等价， 记 Y={x=41+22+.+nanm21,2,Lm∈R} V2={x=4b1+2b2+.+4,b,41,42,.4,∈R 试证：V=V2·
V x a a a R = = 1 1 + 2 2 ++ m m 1 ,2 , , m 间 一般地， 由向量组a1 ,a2 ,,am所生成的向量空 为 . , , , , , , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 V V V x b b b R V x a a a R a a b b s s s m m m m s = = = + + + = = + + + 试证： 记 设向量组 与向量组 等价， 例 5
证设x∈Y,则x可由a1,am线性表示 因1，am可由b1,b,线性表示，故x可由b1, b,线性表示，所以x∈V, 这就是说，若x∈V,则x∈V, 因此VcV2· 类似地可证：若x∈V,则x∈V, 因此V,cV 因为YcV,V,cV,所以Y=V2:
, , . 证 设xV1，则x可由a1 am线性表示 : , , 类似地可证 若x V2 则x V1 . 因为V1 V2，V2 V1，所以V1 = V2 线性表示， 因 可由 线性表示，故 可由 s m s b a , ,a b , ,b x b , , 1 1 1 . 所以x V2 这就是说，若x V1，则x V2， . 因此V1 V2 . 因此V2 V1
二、子空间 定义2设有向量空间V,及V,若向量空间YcV, 就说V,是V,的子空间. 实例 设V是由n维向量所组成的向量空间， 显然VcR" 所以V总是R"的子空间
定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间． V1 V2 V1 V1 V2 V2 实例 V R n 显然 所以V总是R 的子空间. n 二、子空间 设 V 是由 n 维向量所组成的向量空间
三、向量空间的基与维数 定义3设V是向量空间，如果r个向量4,2， .,a,∈且满足 (1)1,a2,线性无关 (2)中任一向量都可由01，a必2，.，a,线性表示. 那末，向量组C1,心2，.，心就称为向量V的一个 基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量 空间
(1) , , , ; 1 2 r线性无关 (2) , , , . V中任一向量都可由1 2 r线性表示 那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量 V 的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． r V V r 三、向量空间的基与维数 定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 r , , V 1 2 , r V