第七节克莱姆法则 线性代教
第七节 克莱姆法则
非齐次与齐次线性方程组的概念 011比1+412X2+.+41nXn=b1 设线性方程组 L21X1+22X2+.+2mXn=b2 anx+an2x2++amxn=b 若常数项，b2,b不全为零则称此方程组为非 齐次线性方程组；若常数项b,b2,bn全为零， 此时称方程组为齐次线性方程组
+ + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2 bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2 bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念
、 克拉默法则 如果线性方程组 0K1+412X2+.+1xn=b 02x1+22x2+.+2cm=b2 (1) 0nx1+m2x2+.+ annxn b Au 012 的系数行列式不等于零，即D= 2 21 02
一、克拉默法则 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 0
那么线性方程组1)有解，并且解是唯一的，解 可以表为 Dn D 其中D,是把系数行列式D中第列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 D.=
, , , , . 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = = n = 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 (1)
证明 用D中第列元素的代数余子式4，A2j,.,Aw 依次乘方程组(1)的n个方程，得 (aux+ax:++aux)A=bAu (axx+axx++ax)A=bAz anx+an2x2++amx)Aj=bAn 在把n个方程依次相加，得
证明 ( ) ( ) ( ) + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j Anj 在把 n 个方程依次相加，得
2小+[宫*+[宫小 =∑bA, k=1 由代数余子式的性质可知，上式中x的系数等于D, 而其余，(i≠的系数均为0；又等式右端为D 于是、Dx,=D,U=1,2,n) (2) 当D≠0时，方程组(2)有唯一的一个解 D D
, 1 1 1 1 1 1 = = = = = + + + + n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x a A x a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D ( j 1,2, ,n). j = j = . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 2 3 2 2 1 1 x D, 上式中 j的系数等于 而其余x (i j)的系数均为0; i . 又等式右端为Dj 于是 (2) 当 D 0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解
由于方程组(2)与方程组①)等价，故 D 也是方程组的()解
由于方程组 (2) 与方程组 (1) 等价, 故 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 2 3 2 2 1 1 也是方程组的 (1) 解
例1用克拉默则解方程组 2x1+2-5x3+x4=8, x1-3x2-6x4=9, 2x2-63+2x4=-5, x1+4x2-7x3+6x4=0. 解 2 1-5 1 0 7 -5 13 -3 0 -6 1-212 1 -3 0 -6 D 0 2 -1 2 4-2 0 2 -1 2 1 4 6 0 12
例1 用克拉默则解方程组 + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = 1 2 2 r − r 4 2 r − r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13 − − − − −
7 5 13 3 -5 3 C1+2c2 2 1 2 0 -1 0 c3+2c2 7 -7 12 -7 -7 -2 -3 3 = 27, -7 -2 8 1 -5 1 2 8 -5 9 -3 0 -6 1 9 0 -6 D1= D2 5 2 -1 2 0 -5 -1 2 0 4 -7 6 1 0 -7 6 81, = =-108
7 7 12 2 1 2 7 5 13 − − − = − 1 2 2 c + c 3 2 2 c + c 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − − − − − 7 2 3 3 − − − = = 27, 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 − − − − − − D = = 81, 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 − − − − − D = = −108
2 8 1 2 -5 8 1 -3 9 -6 1 -3 0 9 D; 0 2 -5 Da 2 0 2 -1 -5 1 4 0 6 1 4 -7 0 =-27, 27, D 3， 81 D2 -108 X1= D 27 27 X3 =-27 D4 21-1 D 27 X4= D 27
1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 − − − D = = −27, 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 − − − − − D = = 27, 3, 27 81 1 1 = = = D D x 4, 27 108 2 2 = − − = = D D x 1, 27 27 3 3 = − − = = D D x 1. 27 4 27 4 = = = D D x