拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
第九讲 拉普拉斯变换的应用
第九讲 拉普拉斯变换的应用
1拉普拉斯变换的应用 1、基本公式： I.x(t)函数 设x(s)=C[x(t)],则有c[x'(t)]=sX(s)-x(O) C[x"(t)]=s2X(s)-sx(0)-x'(0) C[x"(t)]=s3X(s)-s2x(0)-sx'(0)-x"(0)
1.拉普拉斯变换的应用 1、基本公式：
Ⅱ.y(t)函数 设Y(s)=c[y(t)],则有c[y(t)]=sY(s)-y(O) cy"(t)]=s2Y(s)-sy(0)-y(0): c[y"(t)]=s3Y(s)-s2y(0)-sy'(0)-y"'(0) Cy4)(t)]=s4Y(s)-s3y(0)-s2y'(0)-sy'(0)-y"(0)
举例 例1.求解常微分方程 y(④+y'=cost, y(0)=y(0)=y"(0)=0,y"(0)=c. 解： 令Y(s)=c[y(t)],方程两边同时取拉氏变换： cy"(t)]=s3Y(s)-s2y(0)-sy'(0)-y"(0)=s3Y(s)-c cy4(t)]=s4Y(s-s3y(0)-s2y'(0)-sy'(0)-y"(0). =s4Y(s)-sc. 方程变为s4y(s)-sc+s3Y(s)-c=,s 1+52, 解得 Ys)=+3s+D+号 1
举例 解: 方程变为 解得
软件实现 S+1)(5+1) 1 s2(5+1)(s2+1) Geogebra软件运算区输入： 部分分式(51) 2 partialfractions:部分分式 ++1+2+1 partialfractions($1) inverselaplace:拉普拉斯逆变换 日++ 111 ；26*可+++ s-1 运行结果为： 2+西+26+n+5+量 5-11 1 inverselaplace($4) o0-号m0-1+5et+e 1 2*t r)=京-++z+ S 1 原方程的解为y()=t-1+2et+(cost-sit)+t只
软件实现 运行结果为：
举例 例2.求解常微分方程 y”+3y'+2y=u(t-1)y(0)=0,y'(0)=1. 解 令Y(s)=c[y(t)],方程两边同时取拉氏变换： c[y'(t)]=sY(s)-y(0)=sY(s). c[y"(t)]=s2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s2Y(s)-1. 1 方程变为s2Y(s)-1+3sY(s)+2Y(s=se5 1 1 解得 Y(s)-s(+2)(6+1*+(+2)(s+1)
举例 解: 方程变为 解得
软件实现 s(5+1(5+2 1 s3+3s2+25 Geogebra软件运算区输入： partialfractions($1) 2 31 5s+1+5f3 partialfractions:部分分式 1 (5+1(5+2 3 1 inverselaplace:拉普拉斯逆变换 s2+3s+2 部分分式(33) 4 1 1 运行结果为： s+15+2 exp(-s) s6+10s+2)+(6+1s+2) es+s Y(s)= e e-s e-s 1 s3+3s2+2s 2(s+2)￥、 inverselaplace($1) 2s (s+1) S+1s+2 2 e-。a+(e+e-）)Heaviside(-) 原方程的解为y()=2ut-1)1-2ec-)+e2-)1+e-e-2
软件实现 运行结果为：
举例 例3.求解常微分方程组 y”+x'=6(t-1) 2x+y"=2u(t-1) x(0)=y(0)=0,y(0)=y"(0)=0 解：令X(s)=C[x(t)],Y(s)=C[y(t)]对方程两边取拉氏变换： C[x'(t)]=sX(s)-x(0)=sX(S) cy'(t]=s2Y(s)-sy(0)-y(0)=s2Y(s) cy"(t)]=s3Y(s)-s2y(0)-sy'(0)-y'(0)=s3Y(s)
举例 解:
s2Y(s)+sX(s)=e-s ① 方程组变为 (2X()( ② s①-②得 Xw)= Y(s)=0, 原方程组的解为 x(t)=u(t-1) yt)=0
方程组变为 s①-②得