《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第一章 行列式 第一节 二阶与三阶行列式 第二节 全排列及其逆序数 第三节 n阶行列式的定义 第四节 对换

线性代数 名 同济大学数学系编 冬 第五版

❖ 同济大学数学系 编 ❖ 第五版

第二章 行列式 冬第一节三阶与三阶行列式 一、二阶行列式 课本上给出了二阶行列式的引入， 我们直接给出定义如下： 新疆大学数学与系统科学学院

新疆大学数学与系统科学学院 ❖ 第一节 二阶与三阶行列式 一、二阶行列式 课本上给出了二阶行列式的引入， 我们直接给出定义如下： 第一章 行 列 式

定义1由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列)的数表 L11012 L21022 (1) 表达式a11422-412421称为数表0所确定的二阶 行列式并记作 11 012 l21 22 即 D 11 12 =011022-L12021: 21 22

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 (1) 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a 定义1 表达式a1 1a2 2 − a1 2a2 1称为数表（1）所确定的二阶 即 . 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a a a a D = = − 行列式, (2) 2 1 2 2 1 1 1 2 a a 并记作 a a

二阶行列式的计算一 对角线法则 主对角线 12 =1122-L1221 副对角线 22 例1 n-= 3x1-2×(-2)=7 D,=21 3.12 -21, 12-2 D=11 =12×1-(-2)×1=14

主对角线 副对角线 对角线法则 = a11a22 二阶行列式的计算 2 1 3 − 2 D = = = 7 1 1 12 2 1 − D = = 121− (−2)1 = 14 2 1 3 12 D2 = = −21, 例1 − a12a21 21 22 11 12 a a a a 31 − 2(−2)

二、三阶行列式 定义2设有9个数排成3行3列的数表 11 12 13 L21 L22 L23 (3) 记 31 032 33 11 L12 3 L21 L22 L23 =411022L33+012023431+413L2132 (4) L31 L32 33 -1123L32-012021L33-L1302231, (4) 式称为数表（3)所确定的三阶行列式

二、三阶行列式 定义2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 (3) 9 3 3 a a a a a a a a a 设 有 个数排成 行 列的数表 记 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1, 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 (4) a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a （4）式称为数表（3）所确定的三阶行列式

11 L12 13 第一行 D=a21 L22 第一列 23.列标 a31 32 3行标 三阶行列式的计算 (1)沙路法D =41142233+41223431+41342132 -4112332-01221L33-L132231

31 21 11 a a a − − − + + + . − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 (1)沙路法 三阶行列式的计算 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = .列标 行标 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a D = 32 22 12 a a a 第一行 第一列

例1 计算三阶行列式D= 2 解 D :1×1×(-1)+(一2)×(-3)×（一1） +1×2×1-1×1×(-1)-1×(-3)×1-(-2)×2×(-1) =5

例1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 − − − − 计算三阶行列式 D = 解 1 1 1 2 1 3 1 2 1 − − − − D = = 11(−1) + (−2)(−3)(−1) =－5 1 2 1 − 1 1 − 2 + 1 21 − 11(−1) − 1(−3)1 − (−2) 2(−1)

(2)对角线法则 =41142233+412423031+0132132 -41322L31-L12021L33一112332 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号. 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式

31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = a11a22a33 . 11 23 32 − a a a (2)对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． + a12a23a31 + a13a21a32 13 22 31 − a a a 12 21 33 − a a a

2.三阶行列式包括3！项，每一项都是位于不同行， 不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为 负 -2 例2 D 2 1 -3 -1 1 -1 解 -31x1×(-1)+(-2)×(-3)×(-1) 1 +×2x11xx((2)×2×(-1)-1×(-3)×1=-5

2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 例2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 − − − − D = 1 1 1 2 1 3 1 2 1 − − − − D = 解 = 11(−1) + (− 2)(− 3)(−1) + 121−11(−1)− (− 2)2(−1) −1(− 3)1= −5

例3计算三阶行列式D 解 按对角线法则，有 D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-4)×(-2)×4 -1×1×4-2×(-2)×(-2)-(-4)×2×(-3) =-4-6+32-4-8-24 =-14

- 3 4 - 2 - 2 2 1 1 2 - 4 例3 计算三阶行列式 D = 解 按对角线法则，有 D =1 2(−2) + 21(−3) + (−4)(−2) 4 − 11 4 − 2(−2)(−2) − (−4) 2(−3) = −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24 = −14