傅里叶变换
傅里叶变换
第四讲 单位中激函数的 傅里叶变换
第四讲 单位冲激函数的 傅里叶变换
广义的傅里叶变换 1.单位冲激函数的傅里叶变换公式 F[6t)=《 (t)e-Jatdt==e=1 -00 单位冲激函数包含各种频率分量且它们具有相等的幅度， 称此为均匀频谱或白色频谱。 2.单位冲激函数的傅里叶逆变换公式 1 -1[1]= eiotdw 8(t) 2元】 注：两个公式是由6函数的定义和运算性质给出，不是普通积分所得
න −∞ +∞ 𝜹(𝒕)𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 = = 𝒆 ቚ −𝒋𝝎𝒕 𝒕=𝟎 𝓕 𝜹 𝒕 = = 𝟏 单位冲激函数包含各种频率分量且它们具有相等的幅度， 称此为均匀频谱或白色频谱。 1.单位冲激函数的傅里叶变换公式 2.单位冲激函数的傅里叶逆变换公式 𝓕−1 1 = 𝟏 𝟐𝝅 න −∞ +∞ 𝒆 𝒋𝝎𝒕𝒅𝝎 = 𝜹 𝒕 注：两个公式是由𝜹函数的定义和运算性质给出,不是普通积分所得. 广义的傅里叶变换
1.傅里叶变换的计算 n+0∞ -1[1]= 2元 eiotdw =5(t) ∫eltdt=2π6(w), 由公式转化而得。 e-jotdt=2π6(w ,cosωt是偶函数，sinωt是奇函数。 ∫sinwtdt=0,∫ocos(tωt)dt=20°cosωtdt
1.傅里叶变换的计算 𝓕−1 1 = 𝟏 𝟐𝝅 න −∞ +∞ 𝒆 𝒋𝝎𝒕𝒅𝝎 = 𝜹 𝒕 ∞− +∞ 𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 = 2𝝅𝜹 𝝎 , ∞− +∞ 𝒆 𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 = 2𝝅𝜹 𝝎 , 由公式转化而得。 𝐜𝐨𝐬 𝝎t是偶函数,𝒔𝒊𝒏 𝝎t是奇函数。 ∞− +∞ ∞− ,�� = �𝒅𝒕𝝎𝒏𝒊𝒔� +∞ �� �� = �𝒅�(�𝝎�±)�𝒐𝒄� +∞ 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕𝒅𝒕
举例 例1：求下列函数的傅里叶变换 (1)f(t)=1 十00 解：F(ω)=e-jodt=2r6(ω) (2)g(t)=eiwot 解：o0-uea=Keotdt 十00 十00 =2π6（ω-w0)
举例 例1：求下列函数的傅里叶变换 （1）𝒇(𝒕) = 𝟏 （2）𝒈 𝒕 = 𝒆 𝒋𝝎𝟎𝒕 𝑭(𝝎) = න −∞ +∞ 𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 = 𝟐𝝅𝜹(𝝎) 𝑭(𝝎) = න −∞ +∞ 𝒆 𝒋𝝎𝟎𝒕𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 = න −∞ +∞ 𝒆 −𝒋 𝝎−𝝎𝟎 𝒕𝒅𝒕 = 𝟐𝝅𝜹(𝝎 − 𝝎𝟎) 解： 解：
基础练习 1.求下列函数的傅里叶变换 (1)f(t)=3 解：F(ω)=t3 e-jwtdt=6π6(w) (2)g(t)e-j2t 解：F(ω)=∫toe2te-jodt=toe-w+2tdt =2π6（ω+2） (3)g(t)=e3t 解：F(ω)=2π6（ω-3）
基础练习 （1）𝒇 𝒕 = 𝟑 （2）𝒈 𝒕 = 𝒆 −𝒋𝟐𝒕 1.求下列函数的傅里叶变换 ∞− = (��)�� +∞ 𝟑𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 ∞− = (��)�� +∞ 𝒆 −𝒋𝟐𝒕𝒆 ∞− = �𝒅𝒕𝝎𝒋�− +∞ 𝒆 −𝒋 𝝎+𝟐 𝒕𝒅𝒕 = 𝟐𝝅𝜹(𝝎 + 𝟐) （3）𝒈 𝒕 = 𝒆 𝒋𝟑𝒕 𝑭(𝝎) = 𝟐𝝅𝜹(𝝎 − 𝟑) 解： =𝟔𝝅𝜹(𝝎) 解： 解：
举例 例2：求下列函数的傅里叶变换 (1)f(t)=cos@ot 十00 解：F(ω)= coswpte-jotdt =[er+ea 2 )e-jwtdt =π[6（ω-ω0）+6（ω+w0)]
举例 例2：求下列函数的傅里叶变换 （1）𝒇(𝒕) = 𝐜𝐨𝐬𝝎𝟎𝒕 𝑭(𝝎) = න −∞ +∞ 𝐜𝐨𝐬𝝎𝟎𝒕𝒆 −𝒋𝝎𝒕 解： 𝒅𝒕 = න −∞ +∞ (𝒆 𝒋𝝎𝟎 𝒕+𝒆 −𝒋𝝎𝟎 𝒕 ) 𝟐 𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 = 𝝅[𝜹 𝝎 − 𝝎𝟎 + 𝜹 𝝎 + 𝝎𝟎 ]
举例 例2：求下列函数的傅里叶变换 (2)f(t)=sin2t 十00 解：F(ω)= sin2te-jotdt ( 2j )e-jotdt =jπ[6（ω+2）-6(w-2)]
举例 例2：求下列函数的傅里叶变换 （2）𝒇(𝒕) = 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒕 𝑭(𝝎) = න −∞ +∞ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕𝒆 −𝒋𝝎𝒕 解： 𝒅𝒕 = න −∞ +∞ (𝒆 𝒋𝟐𝒕−𝒆 −𝒋𝟐𝒕 ) 𝟐𝒋 𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 = 𝒋𝝅[𝜹 𝝎 + 𝟐 − 𝜹 𝝎 − 𝟐 ]
举例 例3：试证：单位阶跃函数u(t)的傅氏变换为 Fu=无+n6w 证明 F-1[rωl=a(哈+π(u》elutdw =a品d+云nω) dw+号 +oo sinx dx=2 πJ0 ωt =u(t) 1,t>0 0,t<0
例3：试证：单位阶跃函数𝒖(𝒕)的傅氏变换为 𝑭(𝝎)= 𝟏 𝒋𝝎 + 𝝅𝜹(𝝎) 𝓕 −𝟏 𝑭 𝝎 = 𝟏 𝟐𝝅 ∞− +∞ ( 𝟏 𝒋𝝎 + 𝝅𝜹(𝝎)) 𝒆 𝒋𝝎𝒕𝒅𝝎 = 𝟏 𝟐𝝅 ∞− +∞ 𝟏 𝒋𝝎 𝒆 𝒋𝝎𝒕𝒅𝝎 + 𝟏 𝟐𝝅 ∞− +∞ 𝝅𝜹(𝝎) 𝒆 𝒋𝝎𝒕𝒅𝝎 = 𝟏 𝝅 �� +∞ 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝝎 𝒅𝝎 + 𝟏 𝟐 举例 证明 =𝒖 𝒕 = ቊ 𝟏, 𝒕 > 𝟎 𝟎, 𝒕 < 𝟎 = 𝟏 𝝅 �� +∞ 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝝎t 𝒅𝝎𝒕 + 𝟏 𝟐 න 0 +∞ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋 2
举例 例4：求下列积分 gu(e-hdt=壳+m6al u(t)ewdt-T +π6(0-w0) Jut)e-dt=+πδ(2) u(te-Ko3)dt=+)
例4：求下列积分 ∞− +∞ 𝒖 𝒕 𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 举例 ∞− +∞ 𝒖 𝒕 𝒆 −𝒋(𝝎−𝝎𝟎)𝒕𝒅𝒕 ∞− +∞ 𝒖 𝒕 𝒆 −𝒋𝟐𝒕𝒅𝒕 = ∞− +∞ 𝒖 𝒕 𝒆 −𝒋(𝝎+𝟑)𝒕𝒅𝒕 = = 𝟏 𝒋𝝎 + 𝝅𝜹(𝝎) = 𝟏 𝒋(𝝎−𝝎𝟎) + 𝝅𝜹(𝝎 − 𝝎𝟎) 𝟏 𝟐𝒋 + 𝝅𝜹 𝟐 𝟏 𝒋(𝝎+𝟑) + 𝝅𝜹(𝝎 + 𝟑)