留数及其应用
留数及其应用
第四讲 留数的计并
第四讲 留数的计算
留数及其应用 1.留数定理 定理2：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 21,22,乙n外处处解析，C是D内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线，则 ∮fe)dz n =2πi Res [f(z),zk]
留数及其应用 1.留数定理 D z1 z z 2 3 zn C1 C2 C3 Cn C
2.1函数在极点处的留数：东 法则1：若z0为f(z)的简单（一阶）极点，则 Res[f(z),Zo]lim(z-zo)f(z) z→Z0 证：若zo为f(z)的简单（一阶）极点，则 =2*.u-0 00 (0<z-z,<) n=0 lim(z-zo)f(z)=c-1 Z→Z0
2.1函数在极点处的留数： (ᵼ < |ᵉ − ᵉ ᵼ | < ᵳ )
举例 例1：求f(z)= 1 在各孤立奇点处的留数。 z(z-2)(z+5) 解：在z=0,z=2,z=-5,是f(z)的一阶极点，因此 Res[f().1= 1 70 0 Reslf (z),2]=lim(z-2)f(z)lim-1 =1 z-→2z(z+5)14 1 =1 Res[f(z),-51=ling (z+5)f(z)=limG2) 73 -35
举例
2.2函数在极点处的留数 法则2：设fa)-阁 ,其中P(z),Q(z)在zo处解析， 若P(z0)≠0，zo为Q(z)的一阶零点，则z0为f(z)的 一阶极点，且 P(Zo) Reslf(z),zol =Q'(zo)
2.2函数在极点处的留数
证明20为Q(z)的一阶零点，故z0为乙的一阶极点， O(z “g=p@.其钟pa在解斩，且(6o+0, 由此得fa)=p2P(2.a-2ofa=e P(z) z-Z0 zo为f(z)的一阶极点.由法则1 ResUf().zolli(-zo)(=Q() P(Zo)
证明： 由法则1
举例 例2：求f2=02在z=的留数。 解：z=是函数的一阶极点， Res司- 2
举例 解：
举例 例3：求f(z)=,在z=kπ(k≠0)的留数。 zsinz 解：z=kπ(k≠0)是函数f(2)的一阶极点， Res(品k如）=盟t-知k≠o0)
举例 解： ᵉ = ᵈ ᵴ (ᵈ ≠ ᵼ )是函数ᵈ(ᵉ )的一阶极点
2.3函数在极点处的留数 法则3：若zo为f(z)的m阶极点，则 Res(,zl=aia-zwra可
2.3 函数在极点处的留数