第5章定积分 5.1定积分的概念与性质 5.2微积分学基本定理 5.3定积分的积分法 5.4广义积分 结束
5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分学基本定理 5.3 定积分的积分法 5.4 广义积分 第5章 定积分 结束
5.1定积分的概念与性质 5.1.1引入定积分概念的实例 引例1曲边梯形的面积如图，由连续曲线yfx),直线 x=4,x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形. 下面我们求曲边梯形的面积 y=f(x) (1)分割在(a,b)内插入n-1个分点 Q=X0<x<X2<<X-<X=b 把区间a,b]分成n个小区间 0 [x0,x1]x1x2][x,-1x,][xm-1,xn] 记每一个小区间xx的长度为△x,=x,-x=1,2) 前页后页结束
前页 后页 结束 5.1.1 引入定积分概念的实例 引例1 曲边梯形的面积:如图,由连续曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形. 下面我们求曲边梯形的面积 (1)分割 在(a,b)内插入n–1个分点 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b [ , ][ , ] . [ , ] [ , ] 0 1 1 2 i 1 i n 1 n x x x x x x x x ， ， − ，， − 把区间[a,b]分成n个小区间 记每一个小区间 的长度为 1 ( 1 2 ) i i i [ , ] x x i i −1 = − = x x x i n − ， a b x y f x = ( ) o y 5.1 定积分的概念与性质
过每个分点x,=1,2,)作轴的平行线，将曲边梯形 分割成n个小曲边梯形 (2)近似 △A表示第个小曲边梯形的面积，在小区间x-x,=1,2,m) 内任取一点化≤≤x),过点5，作x轴的垂线与曲线 交于点P(5,f(5》,以△x,为底，f(5)为高做矩形，以此 矩形做为小曲边梯形面积的近似值，则，A4≈△x,·f(传) (3)求和 y=f(x) 将所有矩形面积求和 An=f(5)△x1+f(5)△x2+.+f(5n)△x。 =Σf5,)△x 0 i=1 前页后页结束
前页 后页 结束 (2)近似 表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间 内任取一点 ,过点 作x轴的垂线与曲线 交于点 ,以 为底, 为高做矩形,以此 矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则 Ai 1 [ , ]( 1,2, , ) i i x x i n − = 1 ( ) i i i i x x − i ( , ( )) P f i i i i x ( )i f ( ) A x f i i i a y f x = ( ) M N o y (3)求和 将所有矩形面积求和 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) A f x f x f x n n n = + + + 1 ( ) n i i i f x = = b x 过每个分点xi (i=1,2,.,n)作y轴的平行线，将曲边梯形 分割成n个小曲边梯形
则A,即是曲边梯形面积的近似值， (4)取极限 记入为所有小区间中长度的最大者，即2=max△x,}, 1≤i≤n 当入→0时，总和的极限就是曲边梯形面积A,即 A=im∑f(5△x →0 引例2变力做功 设某质点作直线运动，已知变力F()是位移s的 连续函数，质点的位区间为a,b],求变力F做的功 解(1)分割 在Ia,b]插入n个分点 4=S<S<S<.<S<<<=b 前页后页结束
前页 后页 结束 (4)取极限 记 为所有小区间中长度的最大者,即 , 当 时,总和的极限就是曲边梯形面积A,即 1 max{ }i i n x = → 0 0 1 lim ( ) n i i i A f x → = = 解 (1) 分割 引例2 变力做功 , . ( ) 连续函数，质点的位移区间为 ，求变力 做的功 设某质点作直线运动，已知变力 是位移 的 a b F F s s 在 插入n个分点 0 1 2 1 i n n a s s s s s s b = = − [ , ] a b 则 A n 即是曲边梯形面积的近似值
将闭区间4，b]分成个小区间： So,SS1,S2.,S-1S,.Sm-13Sn 小区间的长度 △s,=S-S-1(i=1,2,.,n) (2)近似 在每一个小区间s1,】上任取一点专，把F(传)做为 质点在小区间上受力的近似值，于是，力F在小区间s,1s,引 上对质点所做的功的近似值为 △W,≈F(5)△s(i=1,2,n) 前页 后页结束
前页 后页 结束 将闭区间[a,b]分成n个小区间: 0 1 1 2 1 1 [ , ],[ , ], ,[ , ], ,[ , ] i i n n s s s s s s s s − − 1 ( 1,2, , ) i i i = − = s s s i n − 小区间的长度 (2)近似 在每一个小区间 上任取一点 ,把 做为 质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间 上对质点所做的功的近似值为 1 [ , ] i i s s − i ( ) F i 1 [ , ] i i s s − ( ) ( 1,2, , ) W F s i n i i i =
(3)求和 把各小区间上力F所做的功的近似值加起来，即得到 在区间[a,]上所做功的近似值，即 W=2AW∑F5,AN (4)取极限 把所有小区间的最大长度记为入，即入=max(△s,)， 则当λ→0时，和式的极限即为变力在区间[α，]上对质点 所做的功，即 m=1m2F(5)△ 2→0 前页后页结来
前页 后页 结束 (3)求和 1 1 ( ) = = = n n i i i i i W W F S 把各小区间上力F所做的功的近似值加起来,即得到 在区间 a b, 上所做功的近似值,即 (4)取极限 把所有小区间的最大长度记为 ,即 , 则当 时,和式的极限即为变力在区间 上对质点 所做的功,即 max( )i = s → 0 a b, 0 1 lim ( ) n i i i W = F s → =
5.1.2定积分的概念 定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在a,b]中任意插入n-1 个分点： a=x0<X1<x2<<Xn-1<xn=b 把区间a,b]分成n个小区间 [x0,x1],[x1,x2].,[x-1,x,].,[xm-1,Xn] 各个小区间的长度为 △x;=Xi-Xi-1 在每一个小区间x-1x,]上任取一点5，(X≤5，≤x,) 作和式（简称积分和式） Σf(51)△x i=1 前页后页结束
前页 后页 结束 5.1.2 定积分的概念 [ , ],[ , ], ,[ , ], ,[ , ] [ , ] : : ( ) [ , ] [ , ] 1 0 1 1 2 1 1 0 1 2 1 i i n n n n x x x x x x x x a b n a x x x x x b f x a b a b n − − = − = − 把区间 分成 个小区间 个分点 定义 设函数 在 上有界，在 中任意插入 ( ), i i 1 i i x x 在每一个小区间 上任取一点 − 各个小区间的长度为 [ , ] 1 1 i i i i i x x x x x − = − − = n i i i f x 1 作和式(简称积分和式) ( )
记2=max{△x,△x2,△xn,如果对区间a,b]任一分法 和小区间x-1,x,]上点5，任意取法，只要当孔→0时，上 述和式的极限都存在且相等，则称此极限为函数f(x) 在区间α，b]上的定积分（简称积分），记作 ede=四之f5a 其中x)叫做被积函数，x)dx叫做被积表达式，x叫 做积分变量，α叫做积分下限，b叫做积分上限，[4，b] 叫做积分区间. 前页后页结来
前页 后页 结束 在区间 上的 ，记作 述和式的极限都存在且相等，则称此极限为函 数 和小区间 上点 任意取法，只要当 时，上 记 ，如果对区间 任一分法 [ , ] ( ) [ , ] 0 max{ , ,., } [ , ] 1 2 a b f x x x x x x a b i i i i n → = − 定积分(简称积分) 0 1 ( )d lim ( ) , n b i i a i f x x f x → = = 其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x 叫 做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b] 叫做积分区间
根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述： 曲线f(x)(f(x)≥0)、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积4等于函数fx)在区间☑，b]上的定积 分，即 A=[f(x)dx 前页后页结束
前页 后页 结束 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即 f (x)( f (x) 0) A f (x)dx. b a =
质点在变力Fs)作用下作直线运动，由起始位置 α移动到b,变力对质点所做之功等于函数Fs)在[a,b] 上的定积分，即 W=心Pod 如果函数x)在区间4，b]上的定积分存在， 则称函数x)在区间a,b]上可积 可以证明：若函数f(x)在在区间[4，b]上连续，或只有有 限个第一类间断点，则f(x)在在区间[a,b]上可积 前页后页结束
前页 后页 结束 如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在， 则称函数f(x)在区间[a,b]上可积. 质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置 a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即 = ( )d b a W F s s 可以证明:若函数f (x)在在区间[a,b]上连续,或只有有 限个第一类间断点,则f (x)在在区间[a,b]上可积