《经济数学基础》课程PPT教学课件（线性代数）第二章 矩阵（3/4）

四.矩阵的分块， 1.分块矩阵的定义 2.分块矩阵的运算规则 1.分块矩阵的定义 对于行数和列数较高的矩阵A,为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵：

1 对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. A A A 四. 矩阵的分块. 1. 分块矩阵的定义 2. 分块矩阵的运算规则 1. 分块矩阵的定义

21 0 0 0 a 0 B 例：A= 1 0 1 B3 011 b a 1 0 0 0a0 0 即 A= 0.db BBB 011b 2

2 , 321   = BBB   = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 例：   A = a 1 0 0b a 0 1 1 0 0 0 0 1 1 b   = B 1 B 2 B 3 即

a 1 0 0 0 a 0 0 C A- 1 0 b 1 0 1 1 b 0 0 即 0 0 A= 1 0 b 01 0 1 h 3

3   = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 , 3 4 1 2   = C C C C   =  A = a 1 C 1 0 0 C 2 0 1 1 0 0 a C 3 b b1 1 0 0 C4 即

a 1 0 0 0 0 0 A 1 0 b 1 -任w-) 0 1 1 b se 1 0。 .0 0 A= 10000000110000110000010000010000 1 0b1 44专A烘w 0 : 4

4 ,      = E B A O ( ), = A1 A2 A3 A4               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0       = a a A 0 1 其中       = b b B 1 1       = 0 1 1 0 E       = 0 0 0 0 O               = 0 1 0 1 a 其中A               = 1 0 1 2 a A               = 1 0 0 3 b A               = b A 1 0 0 4

2.分块矩阵的运算规则 (1)设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用 相同的分块法，有 B A- 。B= A A B 其中A与B的行数相同列数相同，那未 A1+B. Air Bir A+B= 人A1+B1·An+Bn 5

5 ( ) 相同的分块法 有 设矩阵 与 的行数相同 列数相同 采用 , 1 A B , , 其中Aij与Bij的行数相同,列数相同,那末 . 1 1 1 1 1 1 1 1           + + + + + = s s sr sr r r A B A B A B A B A B               =           = s sr r s sr r B B B B B A A A A A         1 1 1 1 1 1 1 1 , 2. 分块矩阵的运算规则

A (2)设A= ,2为数，那末 A A 2A= M. 6

6 (2)设 , 为数,那末 1 1 1 1            = s sr r A A A A A     . 1 1 1 1           = s sr r A A A A A         

1 2 3 例 λ=2，A= 2 1 4 5 6 1×22×23×2 2A= 3×2 2×21×2 4×2 5×26×2 4 4 6 6 4 2 8 10 12 7

7 例   = 4 5 6 3 2 1 1 2 3  = 2 , A 2 2 2 2 2 2 2 2 2            = 4 5 6 3 2 1 1 2 3 2 A . 8 10 12 6 4 2 4 4 6   =

3)设A为m×矩阵，B为l×n矩阵，分块成 (B11 B B 其中A1,A2,A的列数分别等于B,B2j).,B 的行数那末 其中Cg=∑AxB%(=1,sj=1, 8

8 (3)设A为ml矩阵,B为l n矩阵,分块成 , , 1 1 1 1 1 1 1 1           =           = t tr r s st t B B B B B A A A A A         的行数 那 末 其 中 的列数分别等于 , , , , , , , Ai1 Ai 2  Ai t B1 j B2 j  Bi j           = s sr r C C C C AB     1 11 1 ( 1, , ; 1, , ). 1 C A B i s j r k j t k i j =  i k =  =  = 其 中

(4)设A= (5)设A为阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都 是方阵即 A A- 9

9 ( ) 是方阵即 上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零子块都 设 为 阶矩阵 若 的分块矩阵只有在主对角线 . , , 5 A n , A , 2 1               = As A A A  O O (4) , 1 1           = Asr A A     设 A1r As1 . 11           = T sr T T A A A     则 T As1 T A1r T As1 T A1r . 11           = T sr T T A A A     则

A A= 其中A(i=1,2,.s)都是方阵，那末称A为分块 对角矩阵 分块对角矩阵的行列式具有下述性质： A=A1A.A 10

10 , 2 1               = As A A A  O O ( ) . 1,2, , 对角矩阵 其中 Ai i = s 都是方阵 那末称 A为分块 . A = A1 A2  As 分块对角矩阵的行列式具有下述性质: