第六讲 绝对收敛与条件收敛
无 穷 级 数 第六讲 绝对收敛与条件收敛
无穷级敛 1.绝对收敛与条件收敛 00 00 定义对任意项级数) 山n,若〉，|un收敛，则称原级数绝对收敛 n=1 n=1 若原级数收敛，但取绝对值以后的级数发散，则称原级数条件收敛 例如： 1 1- 绝对收敛 1 34++(-1)-11+. 1 1 条件收敛 m
无 穷 级 数 1.绝对收敛与条件收敛 定义.对任意项级数 例如： 绝对收敛 条件收敛
无穷级数 定理1绝对收敛的级数一定收敛， 00 证：设)un收敛，令pn=(un+lunl)n=1,2.) n=1 解得：un=2vn-unl)(n=1,2,.) :un≥0，且un≤un÷∑”n收敛 m=1 X● :∑2n收敛∑4nl收敛，∑ un收敛 1 m=1 n=1
无 穷 级 数 定理1.绝对收敛的级数一定收敛. 证:
无穷级数 举例 00 sin na 例1.证明级数 24 绝对收敛 n=1 解： 因为 叫=是而是收效 m=1 00 sin na sin na 所以级数 n4 绝对收敛故级数 也收敛： n=1 n4
无 穷 级 数 举例 例1. 证明级数 绝对收敛. 解： 所以级数 绝对收敛， 因为
无穷级数 举例 00 例2. 证明级数》-不 绝对收敛 n=1 解： 因为 lim n+1 lim e"(n+1)21 n→o∞ Un n→oo en+in2 二<1 e 00 所以 en 收敛，即级数绝对收敛， n=1 00 故级数 也收蚊 ∑( n=1
无 穷 级 数 举例 例2. 证明级数 绝对收敛. 解： 即级数绝对收敛， 因为
无穷级数 举例 例3.判定级数的 -1y1+是 敛散性。 0- 解： 因为 lim 层a+克=m2+-1 所以∑品1+r发敬 ●● m=1 ● 故级数
无 穷 级 数 举例 解： 因为
无穷级数 2.绝对收敛级数的性质 定理2.绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛， 且与原级数有相同的和. 绝对收敛级数具有可交换性， 00 定理3.级数 un与∑ vn都绝对收敛，其和分别是S,0 n=1 n=1 则对所有乘积u卫；，按任意顺序排列得到的级数 ∑wn收敛 n=1 其和为So
无 穷 级 数 2.绝对收敛级数的性质 定理2. 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛， 且与原级数有相同的和. 绝对收敛级数具有可交换性. 定理3. 级数
无穷级数 基础练习 1.判断题 00 若正项级数 ∑ n收敛则 〉也收敛 ,(√ n=1 n=1 lim 好 -→0∞1Un n limun =0<1 m→0∞ 00 )u收敛 n=1 说明：反之不成立，如 品收敛但 1不收敛 n= n=1
无 穷 级 数 基础练习 若正项级数 1. 判断题. （√ ） 说明：反之不成立，如
无穷级数 基础练习 2. 下列哪个级数是条件收敛的 (C) ? 00 sin nx A. n2 n=1 00 B. (-1)m 00 (1)n-1 1 W n2 n2+1 D n3+2
无 穷 级 数 基础练习 2. 下列哪个级数是条件收敛的 ？ √ (ᵆ )
无穷级数 课堂小结 对任意项级数 山n,若∑u收敛，则称原级数绝对收敛 著级数山，收敛但取绝对值以后的级数)比，发散 定理1绝对收敛的级数一定收敛 则防级数山，条件收数 绝对收敛与 条件收敛 定理2.绝对收敛级数经改变项的位置后构 条件收敛 绝对收敛 成的级数也收敛，且与原级数有相同的和 若正项级数 山，收敛则∑也收敛 定理3.级数八，与∑，都绝对收敛，其和分别是5，。 刻对所有桌积山，按任意顺序排列得到的级数》w。收敛 其和为5a
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