第十一讲 多元函数求条件极值
多元函数微分法及其应用 第十一讲 多元函数求条件极值
多元函数微分法及其应用 1.条件极值 无条件极值：对自变量只有定义域限制. 极值问题 条件极值：对自变量除定义域限制外， 还有其它条件限制， 条件极值的求法： 方法1代入法 转化成无条件极值问题
多元函数微分法及其应用 1.条件极值 极值问题 条件极值的求法: 方法1 代入法. 转化成无条件极值问题。 无条件极值：对自变量只有定义域限制. 条件极值：对自变量除定义域限制外， 还有其它条件限制
多元函教微分法及其应用 在条件(y)=0下， 求函数z=y)的极值 从条件(y)=0中解出y=(x) 求一元函数z=fx(x) 的无条件极值问题 如方法1所述，问题等价于一元函数z=fx(x) 的极值问题，极值点必满足 股+器 =0 故 因 dy =-9 , 故有 dx y =0记 k-fy =-λ bx 中y
多元函数微分法及其应用 求一元函数 的无条件极值问题 转 化 在条件ᵱ (ᵆ ,ᵆ ) = 0下, 求函数ᵆ = ᵅ(ᵆ ,ᵆ ) 的极值 从条件ᵱ (ᵆ ,ᵆ ) = 0中解出 ᵆ = ᵱ (ᵆ ) ᵆ = ᵅ(ᵆ ,ᵱ (ᵆ )) 如方法 1 所述 , 问题等价于一元函数, 的极值问题, 极值点必满足 ᵆ = ᵅ(ᵆ ,ᵱ (ᵆ )) 故 故有 记 = − ᵰ
多元函数微分法及其应用 f+λφ=0 极值点必满足 f+φ，=0 φ(y)=0 引入辅助函数 F=fxy)+冲(xy) 〔F=f+φ=0 则极值点满足： F,=f+冲，=0 F=φ=0 辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法
多元函数微分法及其应用 引入辅助函数 ᵃ ᵆ = ᵅ ᵆ + ᵰ ᵱ ᵆ = 0 ᵃ ᵆ = ᵅ ᵆ + ᵰ ᵱ ᵆ = 0 ᵃ ᵰ = ᵱ = 0 利用拉格 极值点必满足 ᵅ ᵆ + ᵰ ᵱ ᵆ = 0 ᵅ ᵆ + ᵰ ᵱ ᵆ = 0 ᵱ (ᵆ ,ᵆ ) = 0 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. ᵃ = ᵅ(ᵆ ,ᵆ ) + ᵰᵱ (ᵆ ,ᵆ )
多元函激微分法及其应用 1.条件极值 方法2 拉格朗日乘数法， 引入辅助函数：F=f(x,y)+入p(x,y) 辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数 Fxfx+入px=0 测极值点满足F=y+py=0 F=0=0
多元函数微分法及其应用 1.条件极值 方法2 拉格朗日乘数法. 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数
多元函数微分法及其应用 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形 例如，求函数u=f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0,y(xyz)=0 下的极值 设F=f(x,y,z)+元1(x,y,z)+12(x,y,Z) F=f+入中+元9=0 F,=+1P,+入9，=0 解方程组 F=f+元中，+九29，=0 F1=中=0 F2=ψ=0 可得到条件极值的可疑点·
多元函数微分法及其应用 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 下的极值. ᵱ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) = 0 ᵃ ᵆ = ᵅ ᵆ + ᵰ 1 ᵱ ᵆ + ᵰ 2 ᵱ ᵆ = 0 ᵃ ᵆ = ᵅ ᵆ + ᵰ 1 ᵱ ᵆ + ᵰ 2 ᵱ ᵆ = 0 ᵃ ᵆ = ᵅ ᵆ + ᵰ 1 ᵱ ᵆ + ᵰ 2 ᵱ ᵆ = 0
多元函教微分法及其应用 例1.要设计一个容量为V的长方体开口水箱，试 问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解：设x,y,z分别表示长、宽、高，则问题是 在条件xyz=V水箱表面积最小。 令F=2(yz+xz)+xy+λ(xyz-Vo) Fx=2z+y+Ayz=0 解方程组{ F,=2z+x+λxz=0 F2=2x+2y+λyx=0 F=xyz-Vo =0
多元函数微分法及其应用 例1.要设计一个容量为V0的长方体开口水箱, 试 问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ ᵆ ᵆ ᵆ
多元函数微分法及其应用 得唯一驻点x=y=2z=2死入=品 由题意可知合理的设计是存在的. 此时所用材料最省
多元函数微分法及其应用 由题意可知合理的设计是存在的. 此时所用材料最省。 ᵆ ᵆ ᵆ
多元函激微分法及其应用 基础练习 1.已知平面上两定点A(1,3),B4,2), 试在椭圆号+=1x>0,y>0)圆周上求一点C,使 4 △ABC面积S.最小. 解：设C点坐标为(x,y), 则Sa=1AB×AC l三-a E =x+3y-101 2
多元函数微分法及其应用 1.已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 解: 则 = 1 2 |ᵆ + 3ᵆ − 10| ᵃ ᵃ ᵃ ᵃ ᵃ ᵆ ᵆ ᵄ 基础练习
多元函数微分法及其应用 设拉格朗日函数 x2 F=(x+3y-10)2+(1 s=3.5 9 21 2(x+3y-10)- 9x=0 解方程组 2λ 6(x+3y-10)-4y=0 1-x2 y2 -4 =0 3 4 得驻点x= 对应面积S≈1.646 而Sn=2,Sc=3.5, 比较可知，点C与G重合时，三角形面积最小
多元函数微分法及其应用 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知, 点 C 与 G 重合时, 三角形面积最小. ᵄ ≈ 1.646 ᵄ ᵃ = 2, ᵄ ᵃ = 3.5