第六讲 无穷限的反常积分
第六讲 无穷限的反常积分
定积分 一引例： 求由曲线y=2,x=1及x轴， 围成的“开口曲边梯形”的面积。 分析：由于这个图形不是封闭的曲边 梯形，而在x轴正向是开口的，所以 不能直接用定积分来计算它的面积. 若取实数b>1,求[1，b]的定积分： f(x)= 1 AMb=是dx=-=1-吉 当b→∞时，即为“开口曲边梯形 的面积。 b m4(b)=m(1-方=1
求由曲线𝒚= 𝟏 𝒙 𝟐 , 𝒙 = 𝟏及𝒙轴，围成的“开口曲边梯形”的面积。 A(b)=1 𝑏 1 𝑥 2 𝑑𝑥 = − ቚ 1 𝑥 1 𝑏 = 1 − 1 𝑏 lim 𝑏→∞ 𝐴 b = lim 𝑏→∞ ( 1 − 1 𝑏 ) =1 分析：由于这个图形不是封闭的曲边 梯形，而在𝒙轴正向是开口的，所以 不能直接用定积分来计算它的面积. 若取实数b > 𝟏,求[1,b]的定积分： 当b → ∞时，即为“开口曲边梯形” 的面积。 一.引例：
定积分 这个极限称为函数y=立，在无穷区间1，+∞) 上的积分，记为是dx.由于它已不是普通意义 上的定积分，因此我们把它称为广义积分. 也就是说函数在y=之无穷区间[1，+o)上的广义积分， 就是函数y=克在区间1，b1上的定积分当b→+∞ 时的极限“是dx
这个极限称为函数y = 𝟏 𝒙 𝟐 , 在无穷区间[𝟏, +∞) 上的积分，记为�� +∞ 𝟏 𝒙 𝟐 𝒅𝒙. 由于它已不是普通意义 无穷区间[𝟏, +∞) 就是函数y = 𝟏 𝒙 𝟐 在区间[𝟏, 𝒃]上的定积分当𝒃 → +∞ ��时的极限 +∞ 𝟏 𝒙 𝟐 𝒅𝒙. 上的定积分，因此我们把它称为广义积分. 也就是说函数在y = 𝟏 𝒙 𝟐 上的广义积分
定积分 、无穷限的反常积分： 定义1：设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a,如果极限： 1im∫f(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间 +00 [a,+o)上的反常积分，记作：t”f(x)dx 十00 、f(x)d=lim fx)dr b→+∞Ja 当极限存在时，称反常积分收敛； 当极限不存在时，称反常积分发散
二、无穷限的反常积分： 定义1：设函数𝒇(𝒙)在区间[𝒂, +∞)上连续，取𝒃>a,如果极限： lim 𝑏→+∞ �� 𝑏 f 𝑥 𝑑𝑥 存在，则称此极限为函数𝒇(𝒙)在无穷区间 a +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 න a +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑏→+∞ න 𝑎 𝑏 f 𝑥 𝑑𝑥 当极限存在时，称反常积分收敛； [𝒂, +∞)上的反常积分，记作： 当极限不存在时，称反常积分发散
定积分 定义2：设函数f(x)在区间(-∞，b]上连续，取a<b,如果极限： 1im也f(x)dx存在，则称此极限为函数f)在无穷区间 (-o,b]上的反常积分，记作：」也f(x)dx [°f6x)dx=mfcd 当极限存在时，称反常积分收敛： 当极限不存在时，称反常积分发散
定义2：设函数𝒇(𝒙)在区间(−∞，𝒃]上连续，取𝒂 <b,如果极限： lim 𝑎→−∞ �� 𝑏 f 𝑥 𝑑𝑥 存在，则称此极限为函数𝒇(𝒙)在无穷区间 ∞− 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 න −∞ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑎→−∞ න 𝑎 𝑏 f 𝑥 𝑑𝑥 当极限存在时，称反常积分收敛； (−∞, 𝒃]上的反常积分，记作： 当极限不存在时，称反常积分发散
定积分 定义3：设函数f(x)在区间(-∞，+o)上连续，如果广义积分 ∫fx)dx和0f(x)d都收敛，则称上述两广义积分的和 为函数f(x)在无穷区间(-∞，+o)上的广义积分，记作： f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx. 十00 f(x)dx lim f(x)dx+lim f(x)dx a→-0∞ Ja b→+0J0 当两极限同时存在时，称反常积分收敛； 否则，称反常积分发散
定义3：设函数𝒇(𝒙)在区间(−∞， + ∞)上连续，如果广义积分 ∞− 𝟎 ��和𝒇 𝒙 𝒅𝒙 +∞ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙都收敛，则称上述两广义积分的和 为函数𝒇(𝒙)在无穷区间 ∞− +∞ ∞− = �𝑑� �� �� 𝟎 �� + �𝒅� �� �� +∞ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙. න −∞ +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑎→−∞ න 𝑎 0 f 𝑥 𝑑𝑥 + lim 𝑏→+∞ න 0 𝑏 f 𝑥 𝑑𝑥 当两极限同时存在时，称反常积分收敛； (−∞, +∞）上的广义积分，记作： 否则，称反常积分发散
定积分 例1 求∫ne*dx 解：心ek=m.e dx=me8 →-0Ja lim (1-ea)=1 0→-00 或ne*dx=e10。=1 例2求0e-2xdx 解：6“e2xdx=e2t0=月
例１ 求∞− 𝟎 𝒆 𝒙𝒅𝒙 解： න −∞ 𝟎 𝒆 𝒙 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦 𝒂→−∞ න 𝒂 𝟎 𝒆 𝒙 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦 ቚ 𝒂→−∞ 𝒆 𝒙 𝟎 𝒂 例2 求�� +∞ 𝒆 −𝟐𝒙𝒅𝒙 �� :解 +∞ 𝒆 −𝟐𝒙 𝐝𝐱 = 𝟏 −𝟐 𝒆 ห −𝟐𝒙 +∞ 𝟎 = 𝟏 𝟐 ∞− 或 𝟎 𝒆 𝒙 𝐝𝐱 = 𝒆 ȁ 𝒙 𝟎 −∞ = 𝟏 = 𝒍𝒊𝒎 𝒂→−∞ 𝟏 − 𝒆 𝒂 = 𝟏
定积分 例3 求” -dx 91_dx= 1 解： xlnx 所以广义积分“dx发散. 例4求烟dx 解：1中r-ri8 π =π
例3 求�� +∞ 𝟏 𝒙𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒙 ��所以广义积分 +∞ 𝟏 𝒙𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒙 发散. න 𝟐 +∞ 𝟏 𝒙𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒙 = න 𝟐 +∞ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒍𝒏𝒙 = 𝒍𝒏𝒍𝒏𝒙ȁ +∞ 𝟐 = ∞ 例4 求∞− +∞ 𝟏 𝟏+𝒙 𝟐 𝒅𝒙 解：න −∞ +∞ 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙ȁ +∞ −∞ = 𝜋 2 − (− 𝜋 2 ) = 𝜋
定积分 例5 讨论广义积分十品dx的敛散性 解：当p=1时， 当p≠1时， o,p1 综上可知，广义积分p>1时收敛，其值为 :当≤1时发散
例5 讨论广义积分�� +∞ 𝟏 𝒙 𝒑 𝒅𝒙 的敛散性 解： 当𝒑 = 𝟏 时， 当𝒑 ≠ 𝟏时， 综上可知，广义积分𝒑 > 𝟏 时收敛，其值为 𝟏 𝒑−𝟏 ；当𝒑 ≤ 𝟏 时发散. න 𝟏 +∞ 𝟏 𝒙 𝒑 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏𝒙ȁ +∞ 𝟏 = ∞ න 𝟏 +∞ 𝟏 𝒙 𝒑 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟏−𝒑 𝟏 − 𝒑 ȁ +∞ 𝟏 = ൞ ∞, 𝒑 𝟏
定积分 课堂小结 几种特殊的广义积分用 到的极限： lim ex =0 元 X→-0∞ lim arctanx X→+0∞ 2 lim eax =0 (a>0) X→一00 元 lim arctanx =-2 lim ex =0 X-00 X-→十00 lim e-ax=0 (a>0) lim xe-ax =0(a>0) X→+00 X→+00
几种特殊的广义积分用 到的极限： 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝝅 𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 = − 𝝅 𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞ 𝒆 𝒙 = 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝒆 −𝒙 = 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞ 𝒆 𝒂𝒙 = 𝟎 (𝒂 > 𝟎) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝒆 −𝒂𝒙 = 𝟎 (𝒂 > 𝟎) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝒙𝒆 −𝒂𝒙 = 𝟎(𝒂 > 𝟎)