第十一章 曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分
第三讲 格林公式
曲线积分与曲面积分 第三讲 格 林 公 式
曲线积分与曲面积分 1.区域的概念 区域D分类 单连通区域（无“洞”区域） 多连通区域（有“洞”区域） 域D边界L的正向：域的内部靠左
曲线积分与曲面积分 ᵃ ᵃ 1.区域的概念 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 )
曲线积分与曲面积分 2.格林公式 定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数 P(Xy),Q(Xy)在D上具有连续一阶偏导数，则有 (格林公式】 或 作dfra
曲线积分与曲面积分 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, ᵄ (ᵆ ,ᵆ ), ᵄ (ᵆ ,ᵆ ) 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 或 2.格林公式
曲线积分与曲面积分 证明：1)若D既是X-型区域，又是Y-型区域，且 40三780n02三 D: c≤y≤dy1 E 则儿股axay-,心o rψ20y B 28 0 a =Q(2(),y)dy "Q(6),y)dy [Q(x,y)dy-、Q(x,y)dy CBE CAF -Q(x.)dy +Qy)dy EAC
曲线积分与曲面积分 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 则 ᵅ ᵅ ᵆ ᵅ ᵆ ᵃ ᵃ ᵃ ᵃ ᵄ ᵄ
曲线积分与曲面积分 ady=cay 即 ① 同理可证 -儿那axdy=Px0az ①、②两式相加得： g(偎-5axdy-fPu+Qay
曲线积分与曲面积分 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得:
曲线积分与曲面积分 2)若D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域，如图 ay dxdy aP k=1 X -∑pax+Qdy (⑦Dk表示Dk的正向边界) aDK 证毕 =∮Pdx+Qdy
曲线积分与曲面积分 ᵆ ᵅ ᵆ 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 证毕
曲线积分与曲面积分 格林公式 ∬（股8）azy=fpax+uy 推论：正向闭曲线L所围区域D的面积 A-fxdy-ydx
曲线积分与曲面积分 格林公式
曲线积分与曲面积分 例1.设L是一条分段光滑的闭曲线，证明 g2xydx+dy-0 2 证：令P=2y,Q=X, 则 aQ ap ax ay =2X-2X=0 利用格林公式，得 2w+y=∬oady-0
曲线积分与曲面积分 例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令 ᵄ = 2ᵆᵆ , ᵄ = ᵆ 2 , 则 利用格林公式 , 得 = 2ᵆ − 2ᵆ = 0 = 0
曲线积分与曲面积分 例2. 计edxdy,其中D是以o0.0),41,. B(O,1)为顶点的三角形闭域 解：令P=0,Q=xey2 ,则 y aQ aP A(1,1) ax dy =e-y2 B(0,1) 利用格林公式，有 J=x 儿eaxdy=克e少ay X -fxedy =yeay =1-e)
曲线积分与曲面积分 例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 利用格林公式 , 有 = 1 2 (1 − ᵅ − 1 ) ᵆ = ᵆ ᵅ ᵆ ᵆ ᵃ (1,1) ᵃ (0,1) ᵃ