第十章 重积分
重积分 第十章 重 积 分
第八讲 质心与转动惯量
重积分 第八讲 质心与转动惯量
重积分 1.物体的质心 设空间有n个质点，分别位于(xk,yk,Zk),其质量分别为 mk（k=1,2,.,n),由力学知，该质点系的质心坐标 xkmk ykmk Zkmk 为x= k=1 k=1 k=1 ,z n mk 台 mk mk k=1
重积分 1.物体的质心 其质量分别为 ᵅ ᵅ ( ᵅ = 1, 2, ⋯ , ᵅ ) , 由力学知, 该质点系的质心坐标 为
重积分 设物体占有空间域口有连续密度函数p(x,y,z),则 采用“大化小，常代变，近似和，取极限”可导出其质心 公式，即： 将分成n小块，在第k块上任取一点(5k,Ik,k), 将第k块看作质量集中于点(5k,k,k)的质点，此质点 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.例如 5kp(5k,门k,k)△ve X≈一 k=1 p(5k,门k,k)△ve
重积分 设物体占有空间域 , 则 公式 , 即: 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 将 分成 n 小块, 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如, 的质点, 此质点
重积分 令各小区域的最大直径)→0，即得 x= x(xy,z)dx dy dz p(xy,z)dxdy dz' 同理可得 yp(x,y,z)dxdy dz zp(x,y,z)dx dy dz p(xy,z)dxdydz= (xy,z)dxdy dz 当p(x,y,z)三常数时，则得形心坐标： xdxdy dz x= j- ydxdydz V zdxdydz v=∬dxdydz,.的体积
重积分 即得 同理可得
重积分 若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片，其面密度为 (x,y),则它的质心坐标为 旷px(x,y)dxdy x= My (y)dx dy M M一对x轴的 静矩 y= yu(xy)dx dy Mx M一对y轴的 u(xy)dxdy M 静矩 当(x,y)三常数时，得D的形心坐标： 元=xdy,y=ydxdy (A为D的面积) A
重积分 其面密度为 ᵄ ᵆ ᵄ ᵆ (A 为 D 的面积)
重积分 例1.求位于两圆r=2sin8和r=4sin0之间均匀薄片 的质心 解：利用对称性可知x=0 而-儿ydxy esinedrde X 4 sin 0 sin 0 d0 3πJ0 r2dr 56 9元J0 sin 0 do J2 sin 0 56 56 .2 sin40d0= 3 1 9n 9元 242
重积分 4 的质心. 而 2 ᵃ = 7 3 之间均匀薄片 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ ᵰ 2 ᵅ ᵆ ᵆ ᵃ
重积分 例2.一个炼钢炉为旋转体形，剖面壁线 的方程为9x2=z(3-z)2,0≤z<3,若炉 内储有高为h的均质钢液，不计炉体的 自重，求它的质心 解：利用对称性可知质心在z轴上故 其坐标为 x=y=0,z= zdxdydz V 采用柱面坐标，则炉壁方程为9(x2+y2)=z(3-z)2, or=32)2(3-2),5o =mr2 因此
重积分 例2. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 因此 故 自重, 求它的质心. ᵅ ᵆ ᵆ ℎ 若炉 不计炉体的 其坐标为 ᵃ ᵆ ᵅ 2 = 1 9 ᵆ (3 − ᵆ ) 2 9ᵅ , 2 = ᵆ (3 − ᵆ ) 2
重积分 V= 顶%dxdydz-d们dxay 0 rdxdydz=az八 dxdy g22(3-z2d2 6-3h+ 2 0 9 2 5 60-30h+4h2 7=h 90-40h+5h2
重积分 = ᵰ 9 ℎ 3 (3 − 3 2 ℎ + 1 5 ℎ 2 ) = ᵰ 9 ℎ 3 ( 9 2 − 2ℎ + 1 4 ℎ 2 ) ᵅ ᵆ ᵆ ℎ ᵃ ᵆ
重积分 2.物体的转动惯量 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和，故 连续体的转动惯量可用积分计算， 设物体占有空间区域口有连续分布的密度函数 Q(Xy).该物体位于(x,y,z)处的微元 对z轴的转动惯量为 dIz=(x2+y2)p(x,y,z)dv 因此物体对z轴的转动惯量： +y2)p.y.z)dxdydz
重积分 2.物体的转动惯量 设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数 ᵰ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ). 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: ᵆ ᵆ ᵅ 对 ᵆ z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算