第十章 重积分
重积分 第十章 重 积 分
第二讲 二重积分的性质
重积分 第二讲 二重积分的性质
重积分 1.二重积分的性质 1.儿kf.d=kFc,)dg(k为常数 2.r)±a川do =fmda±9cydo 3j儿re列dg-rxdo+r化yao (D=D,UD,D,D无公共内点) 4.若在D上fXy)=1, 为D的面积则 -do-do
重积分 1.二重积分的性质 ( k 为常数) 4. 若在ᵃ 上ᵅ(ᵆ , ) ≡ 1, 为D 的面积, 则 (ᵃ = ᵃ 1 ∪ ᵃ 2 , ᵃ 1 , ᵃ 2无公共内点)
重积分 5.若在D上fxy) ≤(Xy),则 fx,yda≤x,nda 特别，由于-f(x,y)川≤f(x,y)≤If(x,y)川 .re.do 6.设M=maxf(x,y),m=minf(x,y),D的面积为口 则有mo≤广fx)do≤Ma
重积分 特别, 由于 5. 若在D上 ᵅ(ᵆ , ) ≤ ᵱ (ᵆ , ) , 则 6. 设 D 的面积为, 则有
重积分 7.(仁二重积分的中值定理)设函数Xy) 在闭区域D上 连续，为D的面积，则至少存在一点（传）∈D,使 1y加=is0a 证：由性质6可知， m≤后fc,Wda≤M 由连续函数介值定理，至少有一点（传）∈D 使 f.)=后∬fx)do 因此 f(xda=f(a
重积分 7.(二重积分的中值定理) 设函数ᵅ(ᵆ , ) (ᵰ ,ᵰ ) ∈ ᵃ , 证: 由性质6 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点(ᵰ ,ᵰ ) ∈ ᵃ 在闭区域D上 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 连续, 因此
重积分 例1.比较下列积分的大小 c+y2da,∬cx+da 其中D:(x-2)+y-1)≤2 解：积分域D的边界为圆周 X (x-2)+y-1)=2 X+y=1 它与x轴交于点(1,0)与直线x+y=1相切， 而域D位 于直线的上方，故在D上x+y≥1，从而 (x+y)≤(x+y +da5f+ydo
重积分 例1. 比较下列积分的大小: 其中 ᵃ : (ᵆ − 2) 2 + (ᵆ − 1) 2 ≤ 2 解: 积分域 D 的边界为圆周 (ᵆ + ᵆ ) 2 ≤ (ᵆ + ᵆ ) 3 (ᵆ − 2) 2 + (ᵆ − 1) 2 = 2 它与 x 轴交于点 (1,0) , 与直线ᵆ + ᵆ = 1 相切, 而域 D 位 于直线的上方, 故在 D 上 ᵆ + ᵆ ≥ 1, 从而 ᵆ + ᵆ = 1 ᵆ ᵅ 2 ᵆ ᵃ
重积分 例2.判断积分 1-x2-y2dxdy的正负号. x2+y2≤4 解：分积分域为DDD, 则 原武=1-2-ydxdy y-1dxdy 舍去此项 -x+y2-idxdy 猜想结果为负 axay- 但不好估计. V3-1dxdy =π-2π(4-3)=π(1-V2)<0
重积分 例2. 判断积分 的正负号. 解: 分积分域为 ᵃ 1 , ᵃ 2 , ᵃ 3 , 则 原式 = ᵃ 3 ᵃ 2 1 ᵃ 1 ᵆ ᵆ ᵅ 猜想结果为负 但不好估计 . 舍去此项
重积分 例3. 估计下列积分之 值 dxdy ∬10+cosx+cos2y D:Ix|+y川≤10 y10 解：D的面积为g=(10V2)2=200 由于 1 -10 10 1- 1 ≤ 102 100+c0s2x+c0s2y 100 10 积分性质5 200≤I≤ 200 即：1.9612 102 100
重积分 例3. 估计下列积分之 值 解: D 的面积为 由于 积分性质5 200 102 ≤ I ≤ 200 100 即: 1.96 I 2 − 10 10 − 10 10 D 1 100 1 102 ᵆ ᵆ
重积分 8.设函数fxy)在闭区域上连续，域D关于x轴对称 D位于x轴上方的部分为D,在D上 (1)fx,-y)=fxy), 则 Jrc0da=2∬fc0do 则fk功n=0 (2)fx,-y)=-fXy), 当区域关于y轴对称，函数关于变量x有奇偶性时，仍 有类似结果， 2 如D为圆域D:x+y≤1 在第一象限部分，则有 (x2+y2)dxdy =4 2+y2)dxdy c+功dxdy=0
重积分 ᵆ ᵆ ᵅ ᵃ 8. 设函数ᵅ(ᵆ , ) (1) ᵅ(ᵆ , − ᵆ ) = ᵅ(ᵆ , ), (2) ᵅ(ᵆ , − ᵆ ) = − ᵅ(ᵆ , ), ᵃ 1 在闭区域上连续, 则 则 有类似结果. 如, ᵃ 1为圆域ᵃ : ᵆ 在第一象限部分, 则有 2 + ᵆ 2 ≤ 1 = 0
重积分 2.曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 y=中2(X) D={ay 中1(x)≤y≤φ2(x)y a≤x≤b 任取x。∈[ab,平面x=X。截柱体的 oax。bX r中2(xo) 截面积为A(xo)= f(xo,y)dy y=中X) φ1(xo) 故曲顶柱体体积为 v=j,fc.0ao-心ac)ax 中2(x) f(x,y)dy ldx Φ1(x)
重积分 2.曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 任取 ᵆ 0 ∈ [ᵄ ,ᵄ ], 平面ᵆ = ᵆ 0 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 ᵆ = ᵱ 2 (ᵆ ) ᵆ = ᵱ 1 (ᵆ ) ᵆ ᵆ ᵆ ᵅ ᵄ ᵄ ᵆ 0